Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{x^{2}-3 x-1}{10+3 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{x^{2}-3x-1}{10+3x}.
Informações dadas:
  • A função é uma razão de duas funções polinomiais: numerador \;x^{2}-3x-1\; e denominador \;10+3x\;.
  • Não há pontos proibidos explicitamente no enunciado, mas precisamos lembrar que a função não está definida quando 10+3x=0, isto é, em x=-\tfrac{10}{3}.
  • A única pergunta é: calcular f'(x), a derivada de f.

Passo 2

Escolhemos usar a regra do quociente (quotient rule), que é a forma direta e padrão para derivar uma razão de duas funções. Antes de aplicar, vamos escrever claramente o que são o numerador e o denominador:
u(x)=x^{2}-3x-1,\qquad v(x)=10+3x.
A regra do quociente diz o seguinte (vou explicar o significado de cada símbolo):
\text{Se }f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\quad\text{então}\quad f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.ã
Aqui:
  • u'(x) é a derivada do numerador em relação a x.
  • v'(x) é a derivada do denominador em relação a x.
  • Multiplicamos u'(x) por v(x), subtraímos u(x)\,v'(x) e dividimos pelo quadrado do denominador v(x).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de u e v separadamente, de forma bem simples:
  • Para u(x)=x^{2}-3x-1, usamos que a derivada de x^{2} é 2x, de -3x é -3 e de uma constante é 0. Logo
u'(x)=2x-3.
  • Para v(x)=10+3x, a derivada de 10 é 0 e de 3x é 3. Assim
v'(x)=3.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente com os u, v, u', v' que calculamos, obtemos a forma inicial (ainda por simplificar):
f'(x)=\frac{(2x-3)(10+3x)-(x^{2}-3x-1)\cdot 3}{(10+3x)^{2}}.
Aqui cada termo tem um significado claro: o primeiro produto vem de u'(x)v(x) e o segundo de u(x)v'(x).

Passo 5

Vamos desenvolver (expandir) os produtos no numerador passo a passo, para depois somar/subtrair os termos semelhantes.
Primeiro expandimos (2x-3)(10+3x).
  • Multiplicando termo a termo:
    • 2x\cdot 10 = 20x,
    • 2x\cdot 3x = 6x^{2},
    • -3\cdot 10 = -30,
    • -3\cdot 3x = -9x.
  • Somando esses termos obtemos
(2x-3)(10+3x)=6x^{2}+20x-9x-30=6x^{2}+11x-30.
Agora expandimos 3(x^{2}-3x-1):
  • 3\cdot x^{2}=3x^{2},
  • 3\cdot(-3x)=-9x,
  • 3\cdot(-1)=-3.
    Logo
3(x^{2}-3x-1)=3x^{2}-9x-3.

Passo 6

Substituímos as expansões no numerador da expressão de f'(x) e efetuamos a subtração:
\text{numerador}=(6x^{2}+11x-30)-(3x^{2}-9x-3).
Agora fazemos a subtração termo a termo:
  • Para os termos em x^{2}: 6x^{2}-3x^{2}=3x^{2}.
  • Para os termos em x: 11x-(-9x)=11x+9x=20x.
  • Para os termos constantes: -30-(-3)=-30+3=-27.
Portanto o numerador simplificado é
3x^{2}+20x-27.

Passo 7

Juntando numerador e denominador, a derivada simplificada fica
f'(x)=\frac{3x^{2}+20x-27}{(10+3x)^{2}}.
Comentário final e verificação rápida: não havia fator comum óbvio no numerador que simplifique com o denominador (o denominador é um quadrado linear). Podemos também observar que a única singularidade da derivada ocorre onde 10+3x=0, isto é, em x=-\tfrac{10}{3}, que é o mesmo ponto onde a função original não está definida.

Resposta

f'(x)=\frac{3x^{2}+20x-27}{(10+3x)^{2}}

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