Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é uma razão de duas funções polinomiais: numerador
e denominador . - Não há pontos proibidos explicitamente no enunciado, mas precisamos lembrar que a função não está definida quando
, isto é, em . - A única pergunta é: calcular
, a derivada de .
Passo 2
Escolhemos usar a regra do quociente (quotient rule), que é a forma direta e padrão para derivar uma razão de duas funções. Antes de aplicar, vamos escrever claramente o que são o numerador e o denominador:
A regra do quociente diz o seguinte (vou explicar o significado de cada símbolo):
Aqui:
-
é a derivada do numerador em relação a . -
é a derivada do denominador em relação a . - Multiplicamos
por , subtraímos e dividimos pelo quadrado do denominador .
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de
e
separadamente, de forma bem simples:
- Para
, usamos que a derivada de é , de é e de uma constante é . Logo
- Para
, a derivada de é e de é . Assim
Passo 4
Aplicando a regra do quociente com os
que calculamos, obtemos a forma inicial (ainda por simplificar):
Aqui cada termo tem um significado claro: o primeiro produto vem de
e o segundo de
.
Passo 5
Vamos desenvolver (expandir) os produtos no numerador passo a passo, para depois somar/subtrair os termos semelhantes.
Primeiro expandimos
.
- Multiplicando termo a termo:
-
, -
, -
, -
.
-
- Somando esses termos obtemos
Agora expandimos
:
-
, -
, -
.
Logo
Passo 6
Substituímos as expansões no numerador da expressão de
e efetuamos a subtração:
Agora fazemos a subtração termo a termo:
- Para os termos em
: . - Para os termos em
: . - Para os termos constantes:
.
Portanto o numerador simplificado é
Passo 7
Juntando numerador e denominador, a derivada simplificada fica
Comentário final e verificação rápida: não havia fator comum óbvio no numerador que simplifique com o denominador (o denominador é um quadrado linear). Podemos também observar que a única singularidade da derivada ocorre onde
, isto é, em
, que é o mesmo ponto onde a função original não está definida.