Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=integral0^x(x-t) e^-t^2 d t

Passo 1

Temos a função
f(x)=integral0^x(x-t)e^-t^2,dt
O que pedem é calcular a derivada f'(x). O conteúdo envolve derivadas de integrais cujo integrando depende de x e cujo limite superior também depende de x. Vamos usar a regra de Leibniz para diferenciação sob o sinal de integral.

Passo 2

Identificamos a função integranda
g(x,t)=(x-t)e^-t^2
A regra de Leibniz diz que
ddxintegral0^xg(x,t),dt=g(x,x)+integral0^xpartialpartial xg(x,t),dt

Passo 3

Primeiro, calculamos g(x,x): substituindo t=x em g(x,t), temos
g(x,x)=(x-x)e^-x^2=0

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de g em relação a x:
partialpartial xg(x,t)=partialpartial x[(x-t)e^-t^2]=1cdot e^-t^2=e^-t^2

Passo 5

Substituindo esses resultados na fórmula de Leibniz, obtemos
f'(x)=g(x,x)+integral0^xe^-t^2,dt=0+integral0^xe^-t^2,dt=integral0^xe^-t^2,dt

Resposta

f’(x)=\int_{0}{x}e{-t^{2}},dt

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