Considere os limites a seguir:
I) lim x 1 2 x-2x^2-x^3
III) lim x -1 1-|x|raiz[3]x+2
II) lim x -infty 2 x^3-x+15 x^3-4
IV) lim x +infty 2-x^5x^4+1
Quantos desses limites valem zero?
(a) 2
(b) 0
© 1
(d) 3
(e) 4

Passo 1

A questão pede para analisar quatro limites e descobrir quantos deles são iguais a zero. O conteúdo envolve cálculo de limites de funções, incluindo limites em pontos finitos (com fatoração e tratamento de valor absoluto) e limites no infinito de funções racionais e polinomiais.

Passo 2

Para o limite I consideramos
limxto12x-2x^2-x^3
Fatorando o numerador e o denominador temos
2x-2=2(x-1),
x^2-x^3=x^2(1-x)=-x^2(x-1)
Cancelando (x-1) (pois estamos estudando o limite e não o valor em x=1) obtemos
2(x-1)-x^2(x-1)=-2x^2
e, ao fazer xto1, o limite vale -2, não zero.

Passo 3

Para o limite II temos
limxto-infty2x^3-x+15x^3-4
Como ambos numerador e denominador são polinômios de grau 3, o limite no infinito é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau, ou seja
25,
que também não é zero.

Passo 4

Para o limite III avaliamos
limxto-11-|x|raiz[3]x+2
Para x próximo de -1, temos |x|=-x, então o numerador vira
1-(-x)=1+x=(x+1)
O denominador tende a raiz[3]-1+2=-1+2=1. Assim o limite é
01=0

Passo 5

Para o limite IV calculamos
limxto+infty2-x^5x^4+1
Aqui o termo de maior grau no numerador é -x^5) e no denominador x^4, então o quociente assintótico é -x) que tende a -infty, não zero.

Passo 6

Dos quatro limites, somente o limite III é igual a zero. Portanto há apenas um limite que vale zero.

Resposta

1

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