Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=integralcos x^sen x e^t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=integralcos x^sin xe^t^2,dt
Este é um problema de derivada de integral com limites dependentes de x, então vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (versão para limites variáveis) e a regra da cadeia.

Passo 2

Para derivar uma integral com limites u(x) e v(x) e integrando g(t), usamos:
ddxintegralu(x)^v(x)g(t),dt = gl(v(x)r),v'(x) - gl(u(x)r),u'(x)

Passo 3

Aqui temos:
g(t)=e^t^2, u(x)=cos x, v(x)=sin x
Então calculamos as derivadas:
u'(x) = -sin x, v'(x)=cos x

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula do passo 2:
f'(x)&=e^(sin x)^2cdot(cos x) - e^(cos x)^2cdot(-sin x) &=cos x,e^sin^2 x+sin x,e^cos^2 x

Resposta

f'(x)=cos x,e^sin^2 x+sin x,e^cos^2 x

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