Determine o domínio de cada uma das funções abaixo e represente-o graficamente:

Passo 1

Resumo do enunciado: a função é f(x,y)=ln(x²–y²). O conteúdo aqui é domínio de função de duas variáveis com logaritmo, que exige argumento positivo.

Passo 2

A condição de existência de ln é que o argumento seja maior que zero. Então precisamos de:
x^2 - y^2 > 0

Passo 3

Para resolver x^2 - y^2 > 0, fatoramos:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
Precisamos que o produto de (x - y) por (x + y) seja positivo.

Passo 4

Estudo de sinais de (x - y)(x + y)>0:
– Caso 1: x - y > 0 e x + y > 0
Isso dá x>y e x>-y, ou seja x>max(y,-y), que equivale a x>lvert yrvert.
– Caso 2: x - y < 0 e x + y < 0
x e x<-y, ou seja x, que equivale a x< -lvert yrvert.

Passo 5

Portanto o domínio é a união de dois setores abertos no plano:
– Região à direita, entre as retas y=x e y=-x, onde x>lvert yrvert.
– Região à esquerda, entre as mesmas retas, onde x< -lvert yrvert.
Graficamente isso são dois “V” abertos unidos ao longo do eixo x.

Resposta

O domínio de f é
D=(x,y)inR^2mid x^2 - y^2 > 0
ou seja
D=(x,y)mid |x| > |y|,
formando dois setores abertos no plano entre as retas y = x e y = -x.

Exercícios relacionados