Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O exercício pede a derivada de
f(x)=\displaystyle\int_{x}{x{2}+7}(x+t)\sin t,dt, usando a regra de Leibniz (derivada de integral com limites variáveis e integrando que depende de x).
f(x)=\displaystyle\int_{x}{x{2}+7}(x+t)\sin t,dt, usando a regra de Leibniz (derivada de integral com limites variáveis e integrando que depende de x).
Passo 2
Definimos G(x,t)=(x+t)\sin t. A regra de Leibniz nos diz:
com a(x)=x e b(x)=x^2+7.
Passo 3
Calculamos os elementos:
– b’(x)=2x e a’(x)=1.
– G(x,b(x))=(x+(x2+7))\sin(x2+7)=(x2+x+7)\sin(x2+7).
– G(x,a(x))=(x+x)\sin x=2x\sin x.
– .
– b’(x)=2x e a’(x)=1.
– G(x,b(x))=(x+(x2+7))\sin(x2+7)=(x2+x+7)\sin(x2+7).
– G(x,a(x))=(x+x)\sin x=2x\sin x.
–
Passo 4
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Falta apenas computar
. Como
temos
Passo 6
Portanto a derivada final é:
Resposta
f’(x)=2x(x2+x+7)\sin(x2+7)-2x\sin x-\cos(x^2+7)+\cos x