Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=integralx^x^2+7(x+t) sen t d t

Passo 1

O exercício pede a derivada de
f(x)=\displaystyle\int_{x}{x{2}+7}(x+t)\sin t,dt, usando a regra de Leibniz (derivada de integral com limites variáveis e integrando que depende de x).

Passo 2

Definimos G(x,t)=(x+t)\sin t. A regra de Leibniz nos diz:
f'(x)=Gl(x,b(x)r),b'(x)-Gl(x,a(x)r),a'(x)+integrala(x)^b(x)partial Gpartial x(x,t),dt,
com a(x)=x e b(x)=x^2+7.

Passo 3

Calculamos os elementos:
– b’(x)=2x e a’(x)=1.
– G(x,b(x))=(x+(x2+7))\sin(x2+7)=(x2+x+7)\sin(x2+7).
– G(x,a(x))=(x+x)\sin x=2x\sin x.
partial G/partial x=sin t.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
f'(x)=2x,(x^2+x+7)sin(x^2+7)-1cdotl(2xsin xr)+integralx^x^2+7sin t,dt

Passo 5

Falta apenas computar integralx^x^2+7sin t,dt. Como
integralsin t,dt=-cos t,
temos
integralx^x^2+7sin t,dt=[-cos t]x^x^2+7=-cos(x^2+7)+cos x

Passo 6

Portanto a derivada final é:
f'(x)=2x(x^2+x+7)sin(x^2+7)-2xsin x-cos(x^2+7)+cos x

Resposta

f’(x)=2x(x2+x+7)\sin(x2+7)-2x\sin x-\cos(x^2+7)+\cos x

Exercícios relacionados