Considere as funções f(x)=x^2-1 e g(x)=3 x-1raiz4-x^2, onde estiverem bem definidas.
(a) Determine a expressão f circ g.
(b) Determine o domínio da função f circ g.
© Faça o estudo do sinal da função g(x).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos as funções f(x)=x^2-1 e g(x)=3x-1raiz4-x^2. A tarefa é: montar a composição fcirc g, achar o domínio dessa composição e estudar o sinal de g(x). Vamos usar teoria de composição de funções, domínio por raízes em radical e análise de sinal por fatorização.

Passo 2

Para achar (fcirc g)(x), a gente substitui g(x) no lugar de x em f(x). Ou seja,
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=l(g(x)r)^2-1=(3x-1raiz4-x^2)^2-1
Agora simplificamos essa expressão. Ao elevar ao quadrado e colocar tudo sobre o mesmo denominador, vem
(fcirc g)(x)=(3x-1)^24-x^2-1=(3x-1)^2-(4-x^2)4-x^2 =9x^2-6x+1-4+x^24-x^2=10x^2-6x-34-x^2

Passo 3

Para o domínio de fcirc g, basta olhar onde g(x) está definido. Como temos raiz4-x^2 no denominador, precisamos de
4-x^2>0Longrightarrow -2

Passo 4

O f é polinomial e não traz mais restrições, então o domínio da composição é (-2,2).

Passo 5

O estudo de sinal de g(x) é simples: o denominador raiz4-x^2 é sempre positivo em (-2,2), então o sinal de g(x) vem do numerador 3x-1. Assim,
3x-1<0 quando x,
3x-1=0 em x=tfrac13,
3x-1>0 quando x>tfrac13.
Como tudo isso ocorre dentro de (-2,2), concluímos que g(x) é negativa em (-2,tfrac13), zero em x=tfrac13 e positiva em (tfrac13,2).

Resposta

(a) (fcirc g)(x)=dfrac10x^2-6x-34-x^2
(b) Domínio: (-2,2)
© g(x)<0 em (-2,tfrac13), g(x)=0 em x=tfrac13 e g(x)>0 em (tfrac13,2).

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