Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=integralx^2^x^3 t^1 / 2 e^t d t

Passo 1

O enunciado dá a função f(x) como uma integral com limites que dependem de x: f(x)= integralx^2^x^3 t^1/2 e^t,dt. O conteúdo envolvido é a derivada de uma integral com limites variáveis, e vamos precisar usar a regra de Leibniz.

Passo 2

Identificamos a função integranda e os limites: g(t)=t^1/2e^t, limite inferior a(x)=x^2 e limite superior b(x)=x^3. Pela regra de Leibniz temos: f’(x)= g(b(x)),b'(x) - g(a(x)),a'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas dos limites: b'(x)=3x^2 e a'(x)=2x. Avaliamos também a integranda nesses pontos: g(b(x))=(x^3)^1/2e^x^3=x^3/2e^x^3 e g(a(x))=(x^2)^1/2e^x^2=x e^x^2 (considerando x>=0 para a raiz).
Substituímos na fórmula de Leibniz e simplificamos:
f'(x)=3x^2cdot x^3/2e^x^3-2xcdot x e^x^2=3x^7/2e^x^3-2x^2e^x^2

Resposta

f'(x)=3x^7/2e^x^3-2x^2e^x^2

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