Considere
dada por
(a) A função
é contínua em
?
(b) Determine as derivadas laterais
e
.
© A função
é derivável em
?
(b) Determine as derivadas laterais
© A função
Passo 1
O enunciado define uma função por partes em
, e pede para a gente checar continuidade e derivabilidade em
, além de calcular as derivadas laterais. Vamos usar limites, definição de continuidade e derivada lateral.
Passo 2
Primeiro, calcule
. Como
, usamos
. Então temos
.
Passo 3
Para ver se
é contínua em
, precisamos mostrar que
. Calculando cada um:
É fácil ver que
É fácil ver que
e
Como ambos os limites são iguais a
,
é contínua em
.
Passo 4
Agora as derivadas laterais. Para
,
é diferenciável com derivada
. Logo
Passo 5
Para
,
tem derivada
. Assim
Passo 6
Como
e
são diferentes,
não é derivável em
.
Resposta
(a) Sim,
é contínua em
.
(b) e
.
© Não, não é derivável em
pois as derivadas laterais não coincidem.
(b)
© Não,