Considere f: R R dada por
f(x)=rll -x^2+9 & se & x>3 x^2-9 & se & x <= 3
(a) A função f é contínua em x=3 ?
(b) Determine as derivadas laterais f+^prime(3) e f-^prime(3).
© A função f é derivável em x=3 ?

Passo 1

O enunciado define uma função por partes em R, e pede para a gente checar continuidade e derivabilidade em x=3, além de calcular as derivadas laterais. Vamos usar limites, definição de continuidade e derivada lateral.

Passo 2

Primeiro, calcule f(3). Como 3<=3, usamos f(x)=x^2-9. Então temos f(3)=3^2-9=0.

Passo 3

Para ver se f é contínua em x=3, precisamos mostrar que limxto3^-f(x)=limxto3^+f(x)=f(3). Calculando cada um:
É fácil ver que
limxto3^-f(x)=limxto3^-(x^2-9)=3^2-9=0
e
limxto3^+f(x)=limxto3^+(-x^2+9)=-3^2+9=0
Como ambos os limites são iguais a f(3)=0, f é contínua em x=3.

Passo 4

Agora as derivadas laterais. Para x<3, f(x)=x^2-9 é diferenciável com derivada f'(x)=2x. Logo
f-'(3)=limxto3^-f(x)-f(3)x-3=2cdot3=6

Passo 5

Para x>3, f(x)=-x^2+9 tem derivada f'(x)=-2x. Assim
f+'(3)=limxto3^+f(x)-f(3)x-3=-2cdot3=-6

Passo 6

Como f-'(3)=6 e f+'(3)=-6 são diferentes, f não é derivável em x=3.

Resposta

(a) Sim, f é contínua em x=3.
(b) f-'(3)=6 e f+'(3)=-6.
© Não, f não é derivável em x=3 pois as derivadas laterais não coincidem.

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