Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=x \log _{4} x-x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=x\log_{4}x - x.
Informações dadas e observações importantes:
\;x é a variável independente; \log_{4}x é o logaritmo de base 4 de x. O domínio natural dessa função (onde tudo faz sentido) é x>0. A única pergunta é: obter f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Vamos organizar os pedacinhos: a função é a diferença entre x\log_{4}x e x. Para diferenciar isso precisamos de duas coisas básicas (vou explicar cada uma com calma):
  1. Regra do produto: se temos duas funções u(x) e v(x), a derivada de u(x)\,v(x) é
(u v)' = u'v + uv'.
Aqui, u' é a derivada de u e v' a derivada de v. Ou seja, dériveu a primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda.
  1. Derivada do logaritmo em base 4: é mais simples usar mudança de base. A identidade é
\log_{4}x = \frac{\ln x}{\ln 4},
onde \ln x é o logaritmo natural e \ln 4 é uma constante (porque 4 é constante). A derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}. Como \ln 4 é constante, a derivada de \log_{4}x será \dfrac{1}{\ln 4} vezes a derivada de \ln x. Vou usar isso na prática abaixo.

Passo 3

Identificamos o produto em x\log_{4}x. Tomemos
u(x)=x,\qquad v(x)=\log_{4}x.
Calculamos as derivadas separadas:
u'(x)=1.
Para v'(x) usamos a mudança de base:
v(x)=\log_{4}x=\frac{\ln x}{\ln 4}.
Como \ln 4 é constante, derivando:
v'(x)=\frac{1}{\ln 4}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{\ln 4}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln 4}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto a x\log_{4}x:
\frac{d}{dx}\big(x\log_{4}x\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot\log_{4}x + x\cdot\frac{1}{x\ln 4}.
Simplificando o segundo termo (o x cancela):
\frac{d}{dx}\big(x\log_{4}x\big)=\log_{4}x + \frac{1}{\ln 4}.

Passo 5

Agora derivamos o restante da função. A derivada de -x é -1. Assim, juntando os termos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x\log_{4}x\big) - \frac{d}{dx}(x)=\left(\log_{4}x + \frac{1}{\ln 4}\right) - 1.
Podemos reorganizar se quisermos, mas essa forma já é clara e correta.

Passo 6

Comentário final rápido e incentivo: lembre-se que tudo aqui exige x>0 (porque \log_{4}x e \ln x só estão definidos para x>0). Pronto — derivada encontrada! Se quiser, a gente pode reescrever a constante \dfrac{1}{\ln 4}-1 de outras maneiras, mas não é necessário para a prova.

Resposta

f'(x)=\log_{4}x+\frac{1}{\ln 4}-1

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