Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e observações importantes:
é a variável independente;
é o logaritmo de base
de
. O domínio natural dessa função (onde tudo faz sentido) é
. A única pergunta é: obter
, a derivada de
em termos de
.
Passo 2
Vamos organizar os pedacinhos: a função é a diferença entre
e
. Para diferenciar isso precisamos de duas coisas básicas (vou explicar cada uma com calma):
- Regra do produto: se temos duas funções
e , a derivada de é
Aqui,
é a derivada de
e
a derivada de
. Ou seja, dériveu a primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda.
- Derivada do logaritmo em base
: é mais simples usar mudança de base. A identidade é
onde
é o logaritmo natural e
é uma constante (porque
é constante). A derivada de
é
. Como
é constante, a derivada de
será
vezes a derivada de
. Vou usar isso na prática abaixo.
Passo 3
Identificamos o produto em
. Tomemos
Calculamos as derivadas separadas:
Para
usamos a mudança de base:
Como
é constante, derivando:
Passo 4
Aplicando a regra do produto a
:
Simplificando o segundo termo (o
cancela):
Passo 5
Agora derivamos o restante da função. A derivada de
é
. Assim, juntando os termos:
Podemos reorganizar se quisermos, mas essa forma já é clara e correta.
Passo 6
Comentário final rápido e incentivo: lembre-se que tudo aqui exige
(porque
e
só estão definidos para
). Pronto — derivada encontrada! Se quiser, a gente pode reescrever a constante
de outras maneiras, mas não é necessário para a prova.