Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada
dizemos que a derivada segunda de
é, por definição, a derivada de
, e denotamos por
. Isto é:
. Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada primeira de
e, além disso, calcular a derivada segunda (isto é, a derivada de
). A função dada é
Informações úteis que já temos do enunciado:
- A função contém
, portanto o domínio natural de é . - Precisamos de
e de (a derivada da derivada).
Passo 2
Vamos lembrar as regras que vamos usar (explicando bem como usar na prova):
- Regra do produto para três fatores. Se
são funções, então a derivada de é
Aqui cada termo é obtido derivando-se exatamente um dos fatores e mantendo os outros dois sem derivar.
- Regra da cadeia para composições. Se
então
Aplicação típica:
.
- Derivadas básicas que usaremos:
Cada fórmula é direta: por exemplo
vem da regra da cadeia com
e
.
Passo 3
Identificamos os três fatores em
:
Calculamos as derivadas individuais:
Agora aplicamos a regra do produto para três fatores:
Substituindo cada termo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão obtida em passos claros. Primeiro simplificamos o segundo termo
. O terceiro termo é
. Assim
Fatoramos
(que aparece em todos os termos) e também um fator
comum:
Essa forma é compacta e útil para derivar novamente.
Passo 5
Agora queremos
. Tomamos a forma fatorada
onde
Usamos a regra do produto para
.
Calculemos
com produto
:
Passo 6
Agora calculamos
. Começamos de
A constante
some na derivada, então derivamos
usando produto
:
Multiplicando por
(do fator exterior) obtemos
Passo 7
Aplicamos
. Substituindo
:
Fatorando
de toda a expressão:
Agora simplificamos o que está entre colchetes: o segundo produto dá
. Expandindo e coletando termos (separando os que têm
dos que não têm) obtemos a forma final simplificada
Se alguém preferir, pode escrever o termo com
factorizado como
, mas a forma acima já é clara e correta.