Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{c}, \mathrm{e}, \mathrm{g}, \mathrm{k} calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada y=f(x) dizemos que a derivada segunda de f é, por definição, a derivada de f^{\prime}, e denotamos por f^{\prime \prime}. Isto é: f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}\right)^{\prime}(x). Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
g(x)=x^{2} \ln (x) e^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada primeira de g e, além disso, calcular a derivada segunda (isto é, a derivada de g'). A função dada é
g(x)=x^{2}\ln(x)\,e^{x^{2}}.
Informações úteis que já temos do enunciado:
  • A função contém \ln(x), portanto o domínio natural de g é x>0.
  • Precisamos de g'(x) e de g''(x) (a derivada da derivada).

Passo 2

Vamos lembrar as regras que vamos usar (explicando bem como usar na prova):
  • Regra do produto para três fatores. Se u(x),v(x),w(x) são funções, então a derivada de u v w é
(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'.
Aqui cada termo é obtido derivando-se exatamente um dos fatores e mantendo os outros dois sem derivar.
  • Regra da cadeia para composições. Se h(x)=F(\varphi(x)) então
h'(x)=F'(\varphi(x))\cdot \varphi'(x).
Aplicação típica: \dfrac{d}{dx}e^{\varphi(x)}=e^{\varphi(x)}\varphi'(x).
  • Derivadas básicas que usaremos:
\frac{d}{dx}x^{2}=2x,\qquad \frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x},\qquad \frac{d}{dx}e^{x^{2}}=e^{x^{2}}\cdot 2x.
Cada fórmula é direta: por exemplo \frac{d}{dx}e^{x^{2}} vem da regra da cadeia com F(t)=e^{t} e \varphi(x)=x^{2}.

Passo 3

Identificamos os três fatores em g:
u(x)=x^{2},\quad v(x)=\ln(x),\quad w(x)=e^{x^{2}}.
Calculamos as derivadas individuais:
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=\frac{1}{x},\qquad w'(x)=e^{x^{2}}\cdot 2x.
Agora aplicamos a regra do produto para três fatores:
g'(x)=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)w'(x).
Substituindo cada termo:
g'(x)=2x\ln(x)\,e^{x^{2}}+x^{2}\cdot\frac{1}{x}\,e^{x^{2}}+x^{2}\ln(x)\cdot(2x e^{x^{2}}).

Passo 4

Vamos simplificar a expressão obtida em passos claros. Primeiro simplificamos o segundo termo x^{2}\cdot\frac{1}{x}\,e^{x^{2}}=x e^{x^{2}}. O terceiro termo é 2x^{3}\ln(x)\,e^{x^{2}}. Assim
g'(x)=2x\ln(x)\,e^{x^{2}}+x e^{x^{2}}+2x^{3}\ln(x)\,e^{x^{2}}.
Fatoramos e^{x^{2}} (que aparece em todos os termos) e também um fator x comum:
g'(x)=e^{x^{2}}\bigl(2x\ln(x)+x+2x^{3}\ln(x)\bigr) = x e^{x^{2}}\Bigl(1+2(1+x^{2})\ln(x)\Bigr).
Essa forma é compacta e útil para derivar novamente.

Passo 5

Agora queremos g''(x). Tomamos a forma fatorada
g'(x)=A(x)\,B(x),
onde
A(x)=x e^{x^{2}},\qquad B(x)=1+2(1+x^{2})\ln(x).
Usamos a regra do produto para g''=(AB)'=A'B+AB'.
Calculemos A'(x) com produto x\cdot e^{x^{2}}:
A'(x)=1\cdot e^{x^{2}} + x\cdot(2x e^{x^{2}}) = e^{x^{2}}+2x^{2}e^{x^{2}}=e^{x^{2}}(1+2x^{2}).

Passo 6

Agora calculamos B'(x). Começamos de
B(x)=1+2(1+x^{2})\ln(x).
A constante 1 some na derivada, então derivamos 2(1+x^{2})\ln(x) usando produto (1+x^{2})\cdot \ln(x):
\frac{d}{dx}\bigl((1+x^{2})\ln(x)\bigr) = (2x)\ln(x)+(1+x^{2})\cdot\frac{1}{x}.
Multiplicando por 2 (do fator exterior) obtemos
B'(x)=2\bigl(2x\ln(x)+\frac{1+x^{2}}{x}\bigr) =4x\ln(x)+2x+\frac{2}{x}.

Passo 7

Aplicamos g''=A'B+AB'. Substituindo A',A,B,B':
g''(x)=e^{x^{2}}(1+2x^{2})\bigl(1+2(1+x^{2})\ln(x)\bigr) + x e^{x^{2}}\bigl(4x\ln(x)+2x+\tfrac{2}{x}\bigr).
Fatorando e^{x^{2}} de toda a expressão:
g''(x)=e^{x^{2}}\Bigl[(1+2x^{2})\bigl(1+2(1+x^{2})\ln(x)\bigr) + x\bigl(4x\ln(x)+2x+\tfrac{2}{x}\bigr)\Bigr].
Agora simplificamos o que está entre colchetes: o segundo produto dá x(4x\ln x+2x+2/x)=4x^{2}\ln x+2x^{2}+2. Expandindo e coletando termos (separando os que têm \ln(x) dos que não têm) obtemos a forma final simplificada
g''(x)=e^{x^{2}}\Bigl(3+4x^{2}+\bigl(2+10x^{2}+4x^{4}\bigr)\ln(x)\Bigr).
Se alguém preferir, pode escrever o termo com \ln(x) factorizado como 2(1+5x^{2}+2x^{4})\ln(x), mas a forma acima já é clara e correta.

Resposta

g'(x)=x e^{x^{2}}\Bigl(1+2(1+x^{2})\ln(x)\Bigr)
g''(x)=e^{x^{2}}\Bigl(3+4x^{2}+\bigl(2+10x^{2}+4x^{4}\bigr)\ln(x)\Bigr)

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