Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{c}, \mathrm{e}, \mathrm{g}, \mathrm{k} calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada y=f(x) dizemos que a derivada segunda de f é, por definição, a derivada de f^{\prime}, e denotamos por f^{\prime \prime}. Isto é: f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}\right)^{\prime}(x). Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
y=\operatorname{sec} (3 x \ln x)

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\operatorname{sec}\bigl(3x\ln x\bigr)
e pede a derivada (vou também calcular a derivada segunda). Informação importante sobre o domínio: a função \ln x exige que x>0, então toda a análise vale para x>0.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (com linguagem direta e um exemplo rápido):
  • Regra da cadeia: se y=f(g(x)), então
y' = f'(g(x))\cdot g'(x).
Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot2.
  • Derivada da função secante: se y=\operatorname{sec}(u) então
\frac{dy}{dx}=\operatorname{sec}(u)\tan(u)\cdot u'.
Isto é resultado direto de aplicar a regra da cadeia à primitiva \operatorname{sec}.
  • Regra do produto (vai aparecer ao calcular a segunda derivada): se h(x)=a(x)b(x) então
h'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).

Passo 3

Identificar a função interna (para usar a regra da cadeia). Defino
u(x)=3x\ln x.
Vou calcular u'(x) usando a regra do produto (porque u é 3x vezes \ln x).
Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}(3x)=3.
  • \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}.
Pela regra do produto,
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x\bigr)\cdot\ln x + 3x\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr) =3\ln x + 3x\cdot\frac{1}{x}.
Simplificando,
u'(x)=3\ln x + 3 = 3\bigl(\ln x + 1\bigr).

Passo 4

Agora aplico a regra da cadeia à função original y=\operatorname{sec}(u(x)). Usando que \dfrac{d}{du}\operatorname{sec} u=\operatorname{sec} u\tan u e multiplicando por u'(x), obtenho
y'=\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\tan\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=3x\ln x e u'(x)=3(\ln x+1),
y' = 3\bigl(\ln x+1\bigr)\,\operatorname{sec}\bigl(3x\ln x\bigr)\,\tan\bigl(3x\ln x\bigr).

Passo 5

Agora vamos à derivada segunda y''. Vou tratar y' como produto de duas funções para aplicar a regra do produto de forma organizada. Escrevo
y'(x)=A(x)\,B(x),
onde
A(x)=3\bigl(\ln x+1\bigr),\qquad B(x)=\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\tan\bigl(u(x)\bigr),
com u(x)=3x\ln x já definido.
Calculo as derivadas necessárias:
  • A'(x)=3\cdot\frac{d}{dx}(\ln x+1)=3\cdot\frac{1}{x}=\frac{3}{x}.
  • Para B'(x) uso a regra do produto em B=\operatorname{sec} u\cdot\tan u: B'(x)=(\operatorname{sec} u)'\tan u + \operatorname{sec} u\,( \tan u)'.Usando as derivadas (\operatorname{sec} u)'=\operatorname{sec} u\tan u\cdot u' e (\tan u)'=\operatorname{sec}^{2}u\cdot u', obtemos B'(x)=u'(x)\operatorname{sec} u\bigl(\tan^{2}u+\operatorname{sec}^{2}u\bigr).Lembrando u'(x)=3(\ln x+1), fica B'(x)=3\bigl(\ln x+1\bigr)\,\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr)\bigl(\tan^{2}u(x)+\operatorname{sec}^{2}u(x)\bigr).

Passo 6

Agora aplico a regra do produto em y'=A\cdot B:
y''=A'B + A B'.
Substituo A',A,B,B' encontrados:
y''=\frac{3}{x}\cdot\operatorname{sec}\bigl(u\bigr)\tan\bigl(u\bigr) +3\bigl(\ln x+1\bigr)\cdot\Bigl[3\bigl(\ln x+1\bigr)\,\operatorname{sec}\bigl(u\bigr)\bigl(\tan^{2}u+\operatorname{sec}^{2}u\bigr)\Bigr],
onde, para compactar a escrita, u=3x\ln x. Multiplicando e simplificando o segundo termo:
y''=\frac{3}{x}\operatorname{sec}\bigl(3x\ln x\bigr)\tan\bigl(3x\ln x\bigr) +9\bigl(\ln x+1\bigr)^{2}\operatorname{sec}\bigl(3x\ln x\bigr)\bigl(\tan^{2}\bigl(3x\ln x\bigr)+\operatorname{sec}^{2}\bigl(3x\ln x\bigr)\bigr).

Passo 7

Opcionalmente, fatoro \operatorname{sec}(3x\ln x) para dar uma forma mais compacta:
y''=3\operatorname{sec}\bigl(3x\ln x\bigr)\!\left(\frac{1}{x}\tan\bigl(3x\ln x\bigr) +3\bigl(\ln x+1\bigr)^{2}\bigl(\tan^{2}\bigl(3x\ln x\bigr)+\operatorname{sec}^{2}\bigl(3x\ln x\bigr)\bigr)\right).

Resposta

y'=3\bigl(\ln x+1\bigr)\,\operatorname{sec}\bigl(3x\ln x\bigr)\,\tan\bigl(3x\ln x\bigr)
y''=\dfrac{3}{x}\operatorname{sec}\bigl(3x\ln x\bigr)\tan\bigl(3x\ln x\bigr) +9\bigl(\ln x+1\bigr)^{2}\operatorname{sec}\bigl(3x\ln x\bigr)\bigl(\tan^{2}\bigl(3x\ln x\bigr)+\operatorname{sec}^{2}\bigl(3x\ln x\bigr)\bigr)

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