Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada
dizemos que a derivada segunda de
é, por definição, a derivada de
, e denotamos por
. Isto é:
. Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada (vou também calcular a derivada segunda). Informação importante sobre o domínio: a função
exige que
, então toda a análise vale para
.
Passo 2
Relembrando as regras que vou usar (com linguagem direta e um exemplo rápido):
- Regra da cadeia: se
, então
Exemplo rápido:
.
- Derivada da função secante: se
então
Isto é resultado direto de aplicar a regra da cadeia à primitiva
.
- Regra do produto (vai aparecer ao calcular a segunda derivada): se
então
Passo 3
Identificar a função interna (para usar a regra da cadeia). Defino
Vou calcular
usando a regra do produto (porque
é
vezes
).
Derivando termo a termo:
-
. -
.
Pela regra do produto,
Simplificando,
Passo 4
Agora aplico a regra da cadeia à função original
. Usando que
e multiplicando por
, obtenho
Substituindo
e
,
Passo 5
Agora vamos à derivada segunda
. Vou tratar
como produto de duas funções para aplicar a regra do produto de forma organizada. Escrevo
onde
com
já definido.
Calculo as derivadas necessárias:
-
- Para
uso a regra do produto em : Usando as derivadas e , obtemos Lembrando , fica
Passo 6
Agora aplico a regra do produto em
:
Substituo
encontrados:
onde, para compactar a escrita,
. Multiplicando e simplificando o segundo termo:
Passo 7
Opcionalmente, fatoro
para dar uma forma mais compacta: