Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} calcule também a segunda derivada:
y=\operatorname{tg}\left[\operatorname{sen}\left(\sqrt{\operatorname{sec} \left(x^{2}+1\right)}\right)\right]

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\operatorname{tg}\!\biggl[\operatorname{sen}\!\Bigl(\sqrt{\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+1\bigr)}\Bigr)\biggr]
e pede a derivada primeira y' e a segunda derivada y''.
Informações relevantes (o que aparece dentro de cada composição):
  • A função externa é \operatorname{tg}(\cdot).
  • Em seguida vem \operatorname{sen}(\cdot).
  • Depois vem \sqrt{\cdot}.
  • Por fim vem \operatorname{sec}(\cdot) aplicado a x^{2}+1.
Ou seja, há várias composições aninhadas; precisamos aplicar a regra da cadeia repetidas vezes e, para y'', também a regra do produto quando surgir.

Passo 2

Lembrete didático (regras que vou usar):
  • Regra da cadeia: se y=f(u(x)) então y'=f'(u(x))\cdot u'(x). Isso vale repetidas vezes para composições.
  • Derivadas elementares que vamos usar: \frac{d}{dx}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u)\,u', \qquad \frac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\,u',
\frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\,u', \qquad \frac{d}{dx}\operatorname{sec}(u)=\operatorname{sec}(u)\tan(u)\,u',
\frac{d}{dx}(x^{2}+1)=2x.
Explico brevemente cada uma:
  • Para \tan, pense que \tan' = 1/\cos^{2} = \operatorname{sec}^{2}.
  • Para \sin, \sin'=\cos (e aplica-se a cadeia).
  • Para \sqrt{u}=u^{1/2}, a derivada é \tfrac{1}{2}u^{-1/2}u'.
  • Para \operatorname{sec}(u)=1/\cos(u), derivando dá \operatorname{sec}(u)\tan(u) (use quociente ou regra da cadeia).

Passo 3

Vou nomear as funções internas para organizar:
t(x)=x^{2}+1, \qquad w(x)=\operatorname{sec}\bigl(t(x)\bigr), \qquad v(x)=\sqrt{w(x)}, \qquad u(x)=\sin\bigl(v(x)\bigr), \qquad y=\tan\bigl(u(x)\bigr).
Calcule as derivadas intermediárias (passo a passo):
  1. \displaystyle t'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)=2x.
  2. \displaystyle w'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sec}\bigl(t(x)\bigr) =\operatorname{sec}\bigl(t(x)\bigr)\tan\bigl(t(x)\bigr)\,t'(x) =2x\,\operatorname{sec}\bigl(t(x)\bigr)\tan\bigl(t(x)\bigr).
  3. \displaystyle v'(x)=\frac{d}{dx}\sqrt{w(x)} =\frac{1}{2\sqrt{w(x)}}\,w'(x) =\frac{1}{2\sqrt{w(x)}}\cdot 2x\,\operatorname{sec}\bigl(t(x)\bigr)\tan\bigl(t(x)\bigr).
    Aqui simplifica-se o 2:
v'(x)=x\;\frac{\operatorname{sec}\bigl(t(x)\bigr)\tan\bigl(t(x)\bigr)}{\sqrt{w(x)}}.
Note que \dfrac{\operatorname{sec}(w)}{\sqrt{\operatorname{sec}(w)}}=\sqrt{\operatorname{sec}(w)}, de modo que outra forma útil é
v'(x)=x\,\sqrt{w(x)}\,\tan\bigl(t(x)\bigr).
  1. \displaystyle u'(x)=\frac{d}{dx}\sin\bigl(v(x)\bigr)=\cos\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x).
  2. Finalmente, pela regra da cadeia,
y'=\frac{d}{dx}\tan\bigl(u(x)\bigr)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).

Passo 4

Agora substituo progressivamente as expressões encontradas para obter y'. Partindo de y'=\operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x) e usando u'(x)=\cos\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x) e v'(x)=x\,\sqrt{w(x)}\,\tan\bigl(t(x)\bigr), obtemos a expressão (sem ainda reduzir nomenclaturas):
y'=\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(\sin(v(x))\bigr)\cdot\cos\bigl(v(x)\bigr)\cdot x\,\sqrt{w(x)}\,\tan\bigl(t(x)\bigr).
Voltando às notações originais v(x)=\sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)}, w(x)=\operatorname{sec}(x^{2}+1) e t(x)=x^{2}+1, essa expressão fica em palavras:
  • multiplicar \operatorname{sec}^{2} do argumento \sin(\sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)}),
  • vezes \cos(\sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)}),
  • vezes x,
  • vezes \sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)},
  • vezes \tan(x^{2}+1).
No próximo passo vamos construir y'' usando essa forma organizada.

Passo 5

Para y'' é prático usar uma notação compacta. Defino
A(x)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x)\bigr), \quad B(x)=\cos\bigl(v(x)\bigr), \quad C(x)=\sqrt{w(x)}, \quad D(x)=\tan\bigl(t(x)\bigr).
Com isso y'(x)=x\cdot A(x)B(x)C(x)D(x). Aplicando a regra do produto a y'=x\cdot S(x) (onde S(x)=A B C D) obtemos
y''=S(x)+x\,S'(x).
Agora derivamos S(x)=A B C D usando a regra do produto para quatro fatores:
S'=A'BCD + AB'CD + ABC'D + ABCD'.
Calculamos cada derivada parcial (lembrando u=\sin(v), v=\sqrt{w}, w=\operatorname{sec}(t), t=x^{2}+1):
  • A(x)=\operatorname{sec}^{2}(u)
A'=2\operatorname{sec}^{2}(u)\tan(u)\,u'.
Mas u'=\cos(v)\,v'=B\cdot v' e v'=x\,C\,D (veja Passo 3). Portanto
A'=2\operatorname{sec}^{2}(u)\tan(u)\cdot B\cdot x C D.
  • B(x)=\cos(v)
B'=-\sin(v)\,v'=-\sin(v)\cdot x C D.
  • C(x)=\sqrt{w} dá (já mostrado)
C'=x C D.
  • D(x)=\tan(t)
D'=\operatorname{sec}^{2}(t)\,t'=2x\operatorname{sec}^{2}(t).
Substituindo esses resultados em S' e organizando, obtemos
\begin{aligned} S'(x) &= \bigl(2\operatorname{sec}^{2}(u)\tan(u)\,B\,x C D\bigr)\cdot B C D \\\ &\quad + A\cdot\bigl(-\sin(v)\,x C D\bigr)\cdot C D \\\ &\quad + A B \cdot\bigl(x C D\bigr)\cdot D \\\ &\quad + A B C \cdot\bigl(2x\operatorname{sec}^{2}(t)\bigr). \end{aligned}
Note que cada termo contém um fator x; portanto podemos escrever S'(x)=x\cdot M(x) para uma função M(x) (isto facilitará a montagem de y''). Não preciso expandir mais do que isso aqui na explicação; a montagem final vai aparecer na resposta final.

Resposta

y'= x\,\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(\sin(\sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)})\bigr)\, \cos\!\bigl(\sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)}\bigr)\, \sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)}\, \tan(x^{2}+1)
\begin{aligned} y''&= \operatorname{sec}^{2}\!\bigl(\sin(\sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)})\bigr)\, \cos\!\bigl(\sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)}\bigr)\, \sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)}\, \tan(x^{2}+1)\\[4pt] &\quad +x^{2}\,\operatorname{sec}^{2}\!\bigl(\sin(\sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)})\bigr)\times{}\\[4pt] &\qquad\Biggl[ 2\,\tan\!\bigl(\sin(\sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)})\bigr)\, \cos^{2}\!\bigl(\sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)}\bigr)\, \operatorname{sec}(x^{2}+1)\, \tan^{2}(x^{2}+1)\\[4pt] &\qquad\quad -\sin\!\bigl(\sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)}\bigr)\, \operatorname{sec}(x^{2}+1)\, \tan^{2}(x^{2}+1)\\[4pt] &\qquad\quad +\cos\!\bigl(\sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)}\bigr)\, \sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)}\, \tan^{2}(x^{2}+1)\\[4pt] &\qquad\quad +2\,\cos\!\bigl(\sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)}\bigr)\, \sqrt{\operatorname{sec}(x^{2}+1)}\, \operatorname{sec}^{2}(x^{2}+1) \Biggr]. \end{aligned}]

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