Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a segunda derivada:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada primeira
e a segunda derivada
.
Informações relevantes (o que aparece dentro de cada composição):
- A função externa é
. - Em seguida vem
. - Depois vem
. - Por fim vem
aplicado a .
Ou seja, há várias composições aninhadas; precisamos aplicar a regra da cadeia repetidas vezes e, para
, também a regra do produto quando surgir.
Passo 2
Lembrete didático (regras que vou usar):
- Regra da cadeia: se
então . Isso vale repetidas vezes para composições. - Derivadas elementares que vamos usar:
Explico brevemente cada uma:
- Para
, pense que . - Para
, (e aplica-se a cadeia). - Para
, a derivada é . - Para
, derivando dá (use quociente ou regra da cadeia).
Passo 3
Vou nomear as funções internas para organizar:
Calcule as derivadas intermediárias (passo a passo):
-
-
-
Aqui simplifica-se o:
Note que
, de modo que outra forma útil é
-
-
Finalmente, pela regra da cadeia,
Passo 4
Agora substituo progressivamente as expressões encontradas para obter
. Partindo de
e usando
e
, obtemos a expressão (sem ainda reduzir nomenclaturas):
Voltando às notações originais
,
e
, essa expressão fica em palavras:
- multiplicar
do argumento , - vezes
, - vezes
, - vezes
, - vezes
.
No próximo passo vamos construir
usando essa forma organizada.
Passo 5
Para
é prático usar uma notação compacta. Defino
Com isso
. Aplicando a regra do produto a
(onde
) obtemos
Agora derivamos
usando a regra do produto para quatro fatores:
Calculamos cada derivada parcial (lembrando
,
,
,
):
-
dá
Mas
e
(veja Passo 3). Portanto
-
dá
-
dá (já mostrado)
-
dá
Substituindo esses resultados em
e organizando, obtemos
Note que cada termo contém um fator
; portanto podemos escrever
para uma função
(isto facilitará a montagem de
). Não preciso expandir mais do que isso aqui na explicação; a montagem final vai aparecer na resposta final.