Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada
dizemos que a derivada segunda de
é, por definição, a derivada de
, e denotamos por
. Isto é:
. Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados.
- Pede: calcular a derivada de
, onde
- Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função envolve
, logaritmo natural (escrevo como logaritmo natural), raiz quadrada, no denominador. - Para que
esteja definida precisamos ter todos os argumentos válidos: - A expressão dentro da raiz deve ser positiva:
. - O logaritmo
exige argumento positivo (mas já garante isso). - O argumento de
exige . - O denominador
não pode ser zero.
- A expressão dentro da raiz deve ser positiva:
- Resumindo as restrições (usadas depois, se necessário):
e e . Observando , a interseção com dá . Então domínio prático: com .
- A função envolve
Passo 2
Simplificar a expressão antes de derivar (boa prática).
- Usar a identidade
. Aplicando com ,
- Para facilitar, defino
assim
Passo 3
Relembrar e listar as regras de derivação que vamos usar (com explicação didática).
- Derivada do exponencial:
. Aqui é especial: sua derivada é ele mesmo. - Regra do produto: se
então . É a forma padrão para derivar um produto. - Regra do quociente: se
então
- Regra da cadeia (para funções compostas): se
então . - Derivadas elementares que usaremos:
-
(derivada do log natural). -
. -
pela cadeia.
-
Passo 4
Aplicar a regra do produto para
.
- Como
é constante, pode passar para fora. Uso produto entre e :
Portanto, o problema reduz-se a calcular
, onde
Passo 5
Calcular as derivadas das partes necessárias para usar a regra do quociente em
com
- Derivada de
: - Primeiro
então . - Pela regra do log:
. - Em TeX:
- Primeiro
- Derivada de
: - Aplicando cadeia: derivada de
é vezes . - Portanto
- Aplicando cadeia: derivada de
Passo 6
Aplicar a regra do quociente para obter
.
Substituindo
:
Reescrevendo o sinal duplo (transformando o sinal menos vezes menos):
Passo 7
Substituir
e
em
e simplificar um pouco.
- Lembre:
. - Então
tem denominador comum . Faço a soma colocando tudo sobre :
Somando com
escrito acima:
- Agora multiplicar por
:
Passo 8
Apresentar a expressão final organizada e, se desejar, fatorar termos comuns para leitura mais clara.
- Posso fatorar
nos dois primeiros termos do numerador e deixar o terceiro separado. Uma forma limpa é:
- Essa expressão é equivalente à dada no passo anterior; mostra bem a contribuição da derivada do exponencial (o fator
) e das derivadas internas (os termos com e ).
Passo 9
Observações finais e domínio.
- A derivada está válida onde a função está definida: em particular para
e . - Se quiser, pode multiplicar e distribuir para obter outras formas equivalentes; o importante é que a expressão apresentada foi obtida usando produto, quociente e cadeia, com todos os passos explícitos.