Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{c}, \mathrm{e}, \mathrm{g}, \mathrm{k} calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada y=f(x) dizemos que a derivada segunda de f é, por definição, a derivada de f^{\prime}, e denotamos por f^{\prime \prime}. Isto é: f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}\right)^{\prime}(x). Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
f(x)=\frac{e^{x} \log \sqrt{x^{2}-2 x}}{\cos (\ln (x))}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados.
  • Pede: calcular a derivada de f(x), onde
f(x)=\frac{e^{x}\,\log\sqrt{x^{2}-2x}}{\cos(\ln(x))}.
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • A função envolve e^{x}, logaritmo natural (escrevo \log como logaritmo natural), raiz quadrada, \cos(\ln x) no denominador.
    • Para que f esteja definida precisamos ter todos os argumentos válidos:
      • A expressão dentro da raiz deve ser positiva: x^{2}-2x>0.
      • O logaritmo \log(\cdot) exige argumento positivo (mas \sqrt{\cdot}>0 já garante isso).
      • O argumento de \ln(x) exige x>0.
      • O denominador \cos(\ln(x)) não pode ser zero.
    • Resumindo as restrições (usadas depois, se necessário): x^{2}-2x>0 e x>0 e \cos(\ln x)\neq 0. Observando x^{2}-2x=x(x-2), a interseção com x>0 x>2. Então domínio prático: x>2 com \cos(\ln x)\neq 0.

Passo 2

Simplificar a expressão antes de derivar (boa prática).
  • Usar a identidade \log\sqrt{u}=\tfrac{1}{2}\log u. Aplicando com u=x^{2}-2x,
f(x)=\frac{e^{x}\,\tfrac{1}{2}\log(x^{2}-2x)}{\cos(\ln x)} =\frac{1}{2}e^{x}\cdot\frac{\log(x^{2}-2x)}{\cos(\ln x)}.
  • Para facilitar, defino
q(x)=\frac{\log(x^{2}-2x)}{\cos(\ln x)},
assim
f(x)=\frac{1}{2}e^{x}q(x).

Passo 3

Relembrar e listar as regras de derivação que vamos usar (com explicação didática).
  • Derivada do exponencial: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Aqui e^{x} é especial: sua derivada é ele mesmo.
  • Regra do produto: se y=u(x)v(x) então y'=u'v+uv'. É a forma padrão para derivar um produto.
  • Regra do quociente: se r(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)} então
r'(x)=\frac{A'(x)B(x)-A(x)B'(x)}{B(x)^{2}}.
  • Regra da cadeia (para funções compostas): se h(x)=g(s(x)) então h'(x)=g'(s(x))\cdot s'(x).
  • Derivadas elementares que usaremos:
    • \dfrac{d}{dx}\log(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)} (derivada do log natural).
    • \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}.
    • \dfrac{d}{dx}\cos(t)= -\sin(t)\cdot t' pela cadeia.

Passo 4

Aplicar a regra do produto para f(x)=\tfrac{1}{2}e^{x}q(x).
  • Como \tfrac{1}{2} é constante, pode passar para fora. Uso produto entre e^{x} e q(x):
f'(x)=\frac{1}{2}\Big(e^{x}q(x)\Big)'=\frac{1}{2}\big(e^{x}q'(x)+e^{x}q(x)\big) =\frac{1}{2}e^{x}\big(q(x)+q'(x)\big).
Portanto, o problema reduz-se a calcular q'(x), onde
q(x)=\frac{\log(x^{2}-2x)}{\cos(\ln x)}.

Passo 5

Calcular as derivadas das partes necessárias para usar a regra do quociente em q(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)} com
A(x)=\log(x^{2}-2x),\qquad B(x)=\cos(\ln x).
  • Derivada de A(x):
    • Primeiro u(x)=x^{2}-2x então u'(x)=2x-2=2(x-1).
    • Pela regra do log: A'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{2x-2}{x^{2}-2x}.
    • Em TeX:
    A'(x)=\frac{2x-2}{x^{2}-2x}.
  • Derivada de B(x)=\cos(\ln x):
    • Aplicando cadeia: derivada de \cos(t) é -\sin(t) vezes t'=\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}.
    • Portanto
    B'(x)=-\sin(\ln x)\cdot\frac{1}{x}=-\frac{1}{x}\sin(\ln x).

Passo 6

Aplicar a regra do quociente para obter q'(x).
q'(x)=\frac{A'(x)B(x)-A(x)B'(x)}{B(x)^{2}}.
Substituindo A,A',B,B':
q'(x)=\frac{\dfrac{2x-2}{x^{2}-2x}\cos(\ln x)-\log(x^{2}-2x)\Big(-\dfrac{1}{x}\sin(\ln x)\Big)}{\cos^{2}(\ln x)}.
Reescrevendo o sinal duplo (transformando o sinal menos vezes menos):
q'(x)=\frac{\dfrac{2x-2}{x^{2}-2x}\cos(\ln x)+\dfrac{1}{x}\log(x^{2}-2x)\sin(\ln x)}{\cos^{2}(\ln x)}.

Passo 7

Substituir q(x) e q'(x) em f'(x)=\dfrac{1}{2}e^{x}(q+q') e simplificar um pouco.
  • Lembre: q(x)=\dfrac{\log(x^{2}-2x)}{\cos(\ln x)}.
  • Então q(x)+q'(x) tem denominador comum \cos^{2}(\ln x). Faço a soma colocando tudo sobre \cos^{2}(\ln x):
q(x)=\frac{\log(x^{2}-2x)}{\cos(\ln x)}=\frac{\cos(\ln x)\log(x^{2}-2x)}{\cos^{2}(\ln x)}.
Somando com q'(x) escrito acima:
q(x)+q'(x)=\frac{\cos(\ln x)\log(x^{2}-2x)+\dfrac{2x-2}{x^{2}-2x}\cos(\ln x)+\dfrac{1}{x}\log(x^{2}-2x)\sin(\ln x)}{\cos^{2}(\ln x)}.
  • Agora multiplicar por \tfrac{1}{2}e^{x}:
f'(x)=\frac{1}{2}e^{x}\cdot\frac{\cos(\ln x)\log(x^{2}-2x)+\dfrac{2x-2}{x^{2}-2x}\cos(\ln x)+\dfrac{1}{x}\log(x^{2}-2x)\sin(\ln x)}{\cos^{2}(\ln x)}.

Passo 8

Apresentar a expressão final organizada e, se desejar, fatorar termos comuns para leitura mais clara.
  • Posso fatorar \cos(\ln x) nos dois primeiros termos do numerador e deixar o terceiro separado. Uma forma limpa é:
f'(x)=\frac{e^{x}}{2\cos^{2}(\ln x)}\left[\cos(\ln x)\left(\log(x^{2}-2x)+\frac{2x-2}{x^{2}-2x}\right)+\frac{\sin(\ln x)}{x}\,\log(x^{2}-2x)\right].
  • Essa expressão é equivalente à dada no passo anterior; mostra bem a contribuição da derivada do exponencial (o fator e^{x}) e das derivadas internas (os termos com \tfrac{2x-2}{x^{2}-2x} e \tfrac{1}{x}\sin(\ln x)).

Passo 9

Observações finais e domínio.
  • A derivada está válida onde a função está definida: em particular para x>2 e \cos(\ln x)\neq 0.
  • Se quiser, pode multiplicar e distribuir para obter outras formas equivalentes; o importante é que a expressão apresentada foi obtida usando produto, quociente e cadeia, com todos os passos explícitos.

Resposta

f'(x)=\frac{e^{x}}{2\cos^{2}(\ln x)}\!\left[\cos(\ln x)\!\left(\log(x^{2}-2x)+\frac{2x-2}{x^{2}-2x}\right)+\frac{\sin(\ln x)}{x}\,\log(x^{2}-2x)\right].

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