Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{c}, \mathrm{e}, \mathrm{g}, \mathrm{k} calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada y=f(x) dizemos que a derivada segunda de f é, por definição, a derivada de f^{\prime}, e denotamos por f^{\prime \prime}. Isto é: f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}\right)^{\prime}(x). Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
y=\ln \left(x \sqrt{x^{2}-1}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\ln\!\bigl(x\sqrt{x^{2}-1}\bigr)
e pede para calcular a derivada (e a derivada segunda). Informações relevantes que vou usar:
  • A expressão contém um logaritmo natural \ln(\cdot) e uma raiz quadrada \sqrt{x^{2}-1}.
  • Domínio: para que \sqrt{x^{2}-1} seja real é necessário x^{2}\ge 1. Além disso, o argumento do logaritmo deve ser positivo. Para x<-1 temos x<0 e \sqrt{x^{2}-1}>0, então x\sqrt{x^{2}-1}<0 (não serve). Logo o domínio relevante é x>1.
  • Vou calcular primeiro y' e em seguida y'' (derivada da derivada), explicando cada regra usada.

Passo 2

Simplificar a função usando propriedades do logaritmo para facilitar a diferenciação.
Regra usada: \ln(ab)=\ln a+\ln b e \sqrt{u}=u^{1/2} portanto \ln(\sqrt{u})=\tfrac{1}{2}\ln u.
Aplicando:
y=\ln x + \ln\!\bigl((x^{2}-1)^{1/2}\bigr)=\ln x + \tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}-1\bigr).
Agora as regras de derivação que vou usar:
  • Derivada de \ln u(x) é \dfrac{u'(x)}{u(x)} (regra da cadeia incluída).
  • Derivada de x é 1; derivada de x^{2}-1 é 2x.
Calculemos termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\dfrac{1}{x}.
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}-1)\right)=\tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{x^{2}-1}=\dfrac{x}{x^{2}-1}.
Portanto,
y'=\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{x^{2}-1}.

Passo 3

Simplificar a expressão de y' para uma única fração (opção útil na prova).
Calcular o denominador comum \,x(x^{2}-1). Somando as frações:
y'=\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{x^{2}-1} =\dfrac{x^{2}-1}{x(x^{2}-1)}+\dfrac{x^{2}}{x(x^{2}-1)} =\dfrac{(x^{2}-1)+x^{2}}{x(x^{2}-1)} =\dfrac{2x^{2}-1}{x(x^{2}-1)}.
Observação rápida sobre singularidades: as frações isoladas teriam problemas em x=0 e x=\pm1, mas como o domínio é x>1 essas singularidades não aparecem na região considerada.

Passo 4

Agora calculamos a derivada segunda y'' (derivada de y'). Vou usar derivação termo a termo sobre a forma y'=\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{x^{2}-1} porque fica mais direto.
Regra usada: \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x^{2}}.
Para \dfrac{x}{x^{2}-1} uso a forma x\cdot (x^{2}-1)^{-1} e aplico a regra do produto + cadeia:
\frac{d}{dx}\!\left(x(x^{2}-1)^{-1}\right) =1\cdot (x^{2}-1)^{-1} + x\cdot\bigl(-1\bigr)(x^{2}-1)^{-2}\cdot 2x.
Simplificando:
= \dfrac{1}{x^{2}-1} - \dfrac{2x^{2}}{(x^{2}-1)^{2}} = \dfrac{(x^{2}-1)-2x^{2}}{(x^{2}-1)^{2}} = \dfrac{-x^{2}-1}{(x^{2}-1)^{2}} = -\dfrac{x^{2}+1}{(x^{2}-1)^{2}}.
Portanto juntando os dois termos:
y'' = -\dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac{x^{2}+1}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 5

(se desejar uma única fração para y'', faço a combinação algébrica)
Denominador comum será x^{2}(x^{2}-1)^{2}. Calculando o numerador:
y'' = -\dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac{x^{2}+1}{(x^{2}-1)^{2}} = \dfrac{-(x^{2}-1)^{2} - x^{2}(x^{2}+1)}{x^{2}(x^{2}-1)^{2}}.
Expandindo (x^{2}-1)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1 e x^{2}(x^{2}+1)=x^{4}+x^{2}:
\text{numerador} = -(x^{4}-2x^{2}+1)-(x^{4}+x^{2}) = -2x^{4}+x^{2}-1.
Assim
y''=\dfrac{-2x^{4}+x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}-1)^{2}} = -\dfrac{2x^{4}-x^{2}+1}{x^{2}(x^{2}-1)^{2}}.
Qualquer uma das formas (a soma de duas frações ou a fração única) está correta; para x>1 as expressões são equivalentes.

Resposta

y'=\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{x^{2}-1}=\dfrac{2x^{2}-1}{x(x^{2}-1)}\n
y''=-\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{x^{2}+1}{(x^{2}-1)^{2}}=\dfrac{-2x^{4}+x^{2}-1}{x^{2}(x^{2}-1)^{2}}

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