Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada
dizemos que a derivada segunda de
é, por definição, a derivada de
, e denotamos por
. Isto é:
. Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada (e a derivada segunda). Informações relevantes que vou usar:
- A expressão contém um logaritmo natural
e uma raiz quadrada . - Domínio: para que
seja real é necessário . Além disso, o argumento do logaritmo deve ser positivo. Para temos e , então (não serve). Logo o domínio relevante é . - Vou calcular primeiro
e em seguida (derivada da derivada), explicando cada regra usada.
Passo 2
Simplificar a função usando propriedades do logaritmo para facilitar a diferenciação.
Regra usada:
e
portanto
.
Aplicando:
Agora as regras de derivação que vou usar:
- Derivada de
é (regra da cadeia incluída). - Derivada de
é ; derivada de é .
Calculemos termo a termo:
Portanto,
Passo 3
Simplificar a expressão de
para uma única fração (opção útil na prova).
Calcular o denominador comum
. Somando as frações:
Observação rápida sobre singularidades: as frações isoladas teriam problemas em
e
, mas como o domínio é
essas singularidades não aparecem na região considerada.
Passo 4
Agora calculamos a derivada segunda
(derivada de
). Vou usar derivação termo a termo sobre a forma
porque fica mais direto.
Regra usada:
.
Para
uso a forma
e aplico a regra do produto + cadeia:
Simplificando:
Portanto juntando os dois termos:
Passo 5
(se desejar uma única fração para
, faço a combinação algébrica)
Denominador comum será
. Calculando o numerador:
Expandindo
e
:
Assim
Qualquer uma das formas (a soma de duas frações ou a fração única) está correta; para
as expressões são equivalentes.