Derive implicitamente:
4 x^{2}-9 y=1

Passo 1

O enunciado pede para derivar implicitamente a equação
4x^{2}-9y=1.
Informações dadas:
  • A relação entre x e y é implícita pela equação acima.
  • Queremos encontrar a derivada de y em relação a x, isto é \dfrac{dy}{dx}.
    Nada mais é solicitado.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): implicitamente y depende de x, então ao derivar ambos os lados da igualdade em relação a x devemos tratar y como uma função y(x). Quando diferenciamos uma expressão que envolve y, usamos a regra da cadeia: se temos uma função composta f(y(x)), então
\frac{d}{dx}f(y(x))=f'(y(x))\cdot y'(x).
No caso mais simples, f(y)=y, então \dfrac{d}{dx}y=y'(x)=\dfrac{dy}{dx}. Constantes têm derivada zero.

Passo 3

Vamos derivar termo a termo a esquerda da equação. Primeiro o termo \;4x^{2}\;. A constante 4 pode sair da derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(4x^{2}\bigr)=4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr).
A derivada de \;x^{2}\; é \;2x\;, portanto
\frac{d}{dx}\bigl(4x^{2}\bigr)=4\cdot 2x=8x.

Passo 4

Agora o termo -9y. A constante -9 sai da derivada e aplicamos a regra da cadeia ao y(x):
\frac{d}{dx}\bigl(-9y\bigr)=-9\cdot\frac{d}{dx}\bigl(y\bigr)=-9\cdot y'=-9\frac{dy}{dx}.

Passo 5

A derivada do lado direito, que é a constante 1, é zero:
\frac{d}{dx}(1)=0.

Passo 6

Reunindo as derivadas obtidas, derivando ambos os lados de \;4x^{2}-9y=1\; obtemos:
8x - 9\frac{dy}{dx} = 0.
Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}. Somando 9\frac{dy}{dx} aos dois lados e subtraindo 0 (ou simplesmente resolvendo para a incógnita) dá:
9\frac{dy}{dx}=8x
e portanto
\frac{dy}{dx}=\frac{8x}{9}.

Passo 7

Verificação (opcional, para ter segurança): podemos isolar y explicitamente da equação original:
y=\frac{4x^{2}-1}{9}.
Derivando explicitamente:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{9}\cdot\frac{d}{dx}(4x^{2}-1)=\frac{1}{9}\cdot 8x=\frac{8x}{9},
que confirma o resultado da diferenciação implícita. Bom trabalho — você conseguiu!

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{8x}{9}

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