Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada
dizemos que a derivada segunda de
é, por definição, a derivada de
, e denotamos por
. Isto é:
. Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada. Vou também calcular a derivada segunda
(isto é útil para itens que pedem segunda derivada). Informações relevantes fornecidas:
- A função é composta: uma função
aplicada a . - O expoente é
.
Passo 2
Relembre as fórmulas e regras que usaremos (mini-aula):
- Derivada de
pela regra da cadeia:
Aqui
é uma função qualquer; primeiro calcula-se
e depois divide-se por
.
- Derivada do exponencial composto:
- Derivadas básicas:
- Para a segunda derivada, usaremos produto e quociente (regra do quociente): se
então
Vou aplicar essas regras passo a passo, sem pular etapas.
Passo 3
Calcular primeiro a derivada do expoente interno. Defina
Então, usando as derivadas básicas,
Passo 4
Calcular a derivada da parte exponencial. Defina
Pela regra do exponencial composto,
Passo 5
Agora aplico a derivada de
por cima de
. Pela regra da cadeia,
Substituindo
e
,
Essa é a derivada primeira. Pequena interpretação: é a derivada da arctangente avaliada no exponencial vezes a derivada do exponencial.
Passo 6
Agora vamos à derivada segunda
. Para organizar, escrevo
Então
. Vou aplicar a regra do quociente com
de modo que
.
Passo 7
Calcular
. Usando produto
.
- Já temos
(como visto no Passo 4). - Calcule
: como ,
Logo
Fatorando
,
Passo 8
Calcular
. Como
,
Passo 9
Aplicar a regra do quociente:
Substituo
encontrados:
Aqui omiti a dependência em
em alguns fatores para não poluir (mas tudo depende de
).
Passo 10
Simplificar o numerador passo a passo. O numerador é
Desenvolvendo a parte dentro dos colchetes:
Isto é
Fatorando
quando for útil,
Portanto o numerador final é
Passo 11
Voltando às notações originais
e
, obtemos a segunda derivada simplificada:
(É exatamente a expressão do Passo 10 com
e
substituídos.)
Passo 12
Resumo final: temos
e
em formas prontas para usar na prova. Persistência! Essa conta é longa mas segue apenas as regras: cadeia, produto e quociente — passo a passo dá certo.