Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{c}, \mathrm{e}, \mathrm{g}, \mathrm{k} calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada y=f(x) dizemos que a derivada segunda de f é, por definição, a derivada de f^{\prime}, e denotamos por f^{\prime \prime}. Isto é: f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}\right)^{\prime}(x). Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
f(x)=\operatorname{arctg}\left(e^{x^{2}+3 \operatorname{sen}(x)}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\operatorname{arctg}\!\bigl(e^{x^{2}+3\operatorname{sen}(x)}\bigr)
e pede a derivada. Vou também calcular a derivada segunda f''(x) (isto é útil para itens que pedem segunda derivada). Informações relevantes fornecidas:
  • A função é composta: uma função \operatorname{arctg} aplicada a e^{x^{2}+3\operatorname{sen}(x)}.
  • O expoente é x^{2}+3\operatorname{sen}(x).

Passo 2

Relembre as fórmulas e regras que usaremos (mini-aula):
  • Derivada de \operatorname{arctg}(u) pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\operatorname{arctg}(u(x))=\frac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}.
Aqui u(x) é uma função qualquer; primeiro calcula-se u'(x) e depois divide-se por 1+u(x)^2.
  • Derivada do exponencial composto:
\frac{d}{dx}e^{v(x)}=e^{v(x)}\cdot v'(x).
  • Derivadas básicas:
\frac{d}{dx}x^{2}=2x,\qquad \frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x),\qquad \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
  • Para a segunda derivada, usaremos produto e quociente (regra do quociente): se h(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)} então
h'(x)=\frac{A'(x)B(x)-A(x)B'(x)}{B(x)^{2}}.
Vou aplicar essas regras passo a passo, sem pular etapas.

Passo 3

Calcular primeiro a derivada do expoente interno. Defina
g(x)=x^{2}+3\operatorname{sen}(x).
Então, usando as derivadas básicas,
g'(x)=2x+3\cos(x).

Passo 4

Calcular a derivada da parte exponencial. Defina
u(x)=e^{g(x)}=e^{x^{2}+3\operatorname{sen}(x)}.
Pela regra do exponencial composto,
u'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x)=e^{x^{2}+3\operatorname{sen}(x)}\bigl(2x+3\cos(x)\bigr).

Passo 5

Agora aplico a derivada de \operatorname{arctg} por cima de u(x). Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}.
Substituindo u e u',
f'(x)=\frac{e^{x^{2}+3\operatorname{sen}(x)}\bigl(2x+3\cos(x)\bigr)}{1+e^{2\bigl(x^{2}+3\operatorname{sen}(x)\bigr)}}.
Essa é a derivada primeira. Pequena interpretação: é a derivada da arctangente avaliada no exponencial vezes a derivada do exponencial.

Passo 6

Agora vamos à derivada segunda f''(x). Para organizar, escrevo
u(x)=e^{x^{2}+3\operatorname{sen}(x)},\qquad v(x)=2x+3\cos(x).
Então f'(x)=\dfrac{u(x)\,v(x)}{1+u(x)^{2}}. Vou aplicar a regra do quociente com
A(x)=u(x)v(x),\qquad B(x)=1+u(x)^{2},
de modo que f'(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)}.

Passo 7

Calcular A'(x). Usando produto A'=u'v+uv'.
  • Já temos u'(x)=u(x)\,v(x) (como visto no Passo 4).
  • Calcule v'(x): como v(x)=2x+3\cos(x),
v'(x)=2-3\sin(x).
Logo
A'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=u(x)v(x)^{2}+u(x)\bigl(2-3\sin(x)\bigr).
Fatorando u(x),
A'(x)=u(x)\Bigl(v(x)^{2}+2-3\sin(x)\Bigr).

Passo 8

Calcular B'(x). Como B(x)=1+u(x)^{2},
B'(x)=2u(x)u'(x)=2u(x)\bigl(u(x)v(x)\bigr)=2u(x)^{2}v(x).

Passo 9

Aplicar a regra do quociente:
f''(x)=\frac{A'(x)B(x)-A(x)B'(x)}{B(x)^{2}}.
Substituo A,A',B,B' encontrados:
f''(x)=\frac{u\bigl(v^{2}+2-3\sin x\bigr)\bigl(1+u^{2}\bigr)-\bigl(u v\bigr)\bigl(2u^{2}v\bigr)}{\bigl(1+u^{2}\bigr)^{2}}.
Aqui omiti a dependência em x em alguns fatores para não poluir (mas tudo depende de x).

Passo 10

Simplificar o numerador passo a passo. O numerador é
N=u\Bigl[(v^{2}+2-3\sin x)(1+u^{2})-2u^{2}v^{2}\Bigr].
Desenvolvendo a parte dentro dos colchetes:
(v^{2}+2-3\sin x)(1+u^{2})-2u^{2}v^{2}=v^{2}+2-3\sin x+u^{2}v^{2}-2u^{2}v^{2}.
Isto é
=v^{2}+2-3\sin x -u^{2}v^{2}.
Fatorando v^{2} quando for útil,
=v^{2}(1-u^{2})+(2-3\sin x).
Portanto o numerador final é
N=u\Bigl(v^{2}(1-u^{2})+(2-3\sin x)\Bigr).

Passo 11

Voltando às notações originais u(x)=e^{x^{2}+3\operatorname{sen}(x)} e v(x)=2x+3\cos(x), obtemos a segunda derivada simplificada:
f''(x)=\frac{e^{x^{2}+3\operatorname{sen}(x)}\Bigl((2x+3\cos x)^{2}\bigl(1-e^{2(x^{2}+3\operatorname{sen} x)}\bigr)+(2-3\sin x)\Bigr)}{\bigl(1+e^{2(x^{2}+3\operatorname{sen} x)}\bigr)^{2}}.
(É exatamente a expressão do Passo 10 com u e v substituídos.)

Passo 12

Resumo final: temos f'(x) e f''(x) em formas prontas para usar na prova. Persistência! Essa conta é longa mas segue apenas as regras: cadeia, produto e quociente — passo a passo dá certo.

Resposta

f'(x)=\frac{e^{x^{2}+3\operatorname{sen}(x)}\bigl(2x+3\cos x\bigr)}{1+e^{2\bigl(x^{2}+3\operatorname{sen}(x)\bigr)}}
f''(x)=\frac{e^{x^{2}+3\operatorname{sen}(x)}\Bigl((2x+3\cos x)^{2}\bigl(1-e^{2(x^{2}+3\operatorname{sen} x)}\bigr)+(2-3\sin x)\Bigr)}{\bigl(1+e^{2(x^{2}+3\operatorname{sen} x)}\bigr)^{2}}

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