Calcule a derivada das seguintes funções.
y=e{e{e{e{x}}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y = e^{e^{e^{e^{x}}}}.
O conteúdo envolvido é o regra da cadeia, pois temos várias funções exponenciais aninhadas.

Passo 2

Vamos definir as funções intermediárias para deixar claro o aninhamento:
u_{1}(x) = e^{x},\quad u_{2}(x) = e^{u_{1}(x)},\quad u_{3}(x) = e^{u_{2}(x)},\quad u_{4}(x) = e^{u_{3}(x)}.
Então y = u_{4}(x).

Passo 3

Pela regra da cadeia, a derivada de y em relação a x é o produto das derivadas de cada camada:
\frac{dy}{dx} = \frac{du_{4}}{du_{3}}\;\frac{du_{3}}{du_{2}}\;\frac{du_{2}}{du_{1}}\;\frac{du_{1}}{dx}.
Sabemos que, para u = e^{v}, vale \tfrac{du}{dv} = e^{v}. Logo:
\frac{du_{4}}{du_{3}} = e^{u_{3}},\quad \frac{du_{3}}{du_{2}} = e^{u_{2}},\quad \frac{du_{2}}{du_{1}} = e^{u_{1}},\quad \frac{du_{1}}{dx} = e^{x}.

Passo 4

Substituindo cada termo no produto, obtemos
\frac{dy}{dx} = e^{u_{3}}\;\cdot e^{u_{2}}\;\cdot e^{u_{1}}\;\cdot e^{x}.
Agora basta voltar ao significado de cada u_{k}:
u_{1} = e^{x},\quad u_{2} = e^{e^{x}},\quad u_{3} = e^{e^{e^{x}}}.

Resposta

y' = e^{e^{e^{e^{x}}}}\;\cdot e^{e^{e^{x}}}\;\cdot e^{e^{x}}\;\cdot e^{x}.

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