Exercício 16. Calcule a derivada das seguintes funções.
y=e^{e^{e^{e^{x}}}}} Resposta: f^{\prime}(x)=e^{e^{e^{e^{x}}}} \cdot e^{e^{e^{x}}} \cdot e^{e^{x}} \cdot e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = e^{\,e^{\,e^{\,e^x}}}
que é uma composição de quatro exponenciais. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia repetidamente: se y=f(g(x)), então
\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x).

Passo 2

Para organizar, definimos variáveis intermediárias:
u = e^x,\quad v = e^u,\quad w = e^v,\quad y = e^w.
Ou seja,
y = e^w,\quad w = e^v,\quad v = e^u,\quad u = e^x.

Passo 3

Calculamos a derivada de cada etapa conforme a regra da cadeia:
\frac{du}{dx} = e^x,\quad \frac{dv}{du} = e^u,\quad \frac{dw}{dv} = e^v,\quad \frac{dy}{dw} = e^w.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia completa:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dw}\,\frac{dw}{dv}\,\frac{dv}{du}\,\frac{du}{dx} = e^w \cdot e^v \cdot e^u \cdot e^x.
Bastou multiplicar as derivadas das quatro camadas.

Passo 5

Por fim, substituímos de volta
u = e^x,\quad v = e^u = e^{e^x},\quad w = e^v = e^{e^{e^x}},
obtendo
f'(x) = e^{\,e^{e^{e^x}}}\;\cdot\;e^{\,e^{e^x}}\;\cdot\;e^{\,e^x}\;\cdot\;e^x.

Resposta

f'(x)=e^{e^{e^{e^x}}}\cdot e^{e^{e^x}}\cdot e^{e^x}\cdot e^x

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