Exercício 16. Calcule a derivada das seguintes funções.
y=e^{x^{6}+3 x^{2}} Resposta: f^{\prime}(x)=\left(e^{x^{6}+3 x^{2}}\right)\left(6 x^{5}+6 x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
y = e^{x^{6} + 3x^{2}}
usando a regra da cadeia. O conteúdo aqui é a derivação de uma função exponencial composta, em que primeiro identificamos a parte interna (o expoente) e depois aplicamos a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = x^{6} + 3x^{2}
para então usar que, se y = e^{u(x)}, vale
y' = e^{u(x)} \cdot u'(x).

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x):
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{6} + 3x^{2}\bigr) = 6x^{5} + 6x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
y' = e^{u(x)} \cdot u'(x) = e^{x^{6} + 3x^{2}} \,\bigl(6x^{5} + 6x\bigr).

Resposta

f'(x) = e^{x^{6} + 3x^{2}}\,(6x^{5} + 6x).

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