Calcule a derivada das seguintes funções.
y=3 x \sqrt{4-x^{3}}

Passo 1

Resumindo, queremos encontrar a derivada de
y = 3x\sqrt{4 - x^3}.
Para isso vamos usar a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia ao derivar a raiz.

Passo 2

Reescrevendo a raiz como potência, temos
y = 3x\,(4 - x^3)^{\tfrac12}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto em y = u \,v com
u = 3x,\quad v = (4 - x^3)^{\tfrac12}.
Então
u' = 3,
e, pela regra da cadeia,
v' = \tfrac12\,(4 - x^3)^{-\tfrac12}\cdot(-3x^2) = -\frac{3x^2}{2\,(4 - x^3)^{\tfrac12}}.

Passo 4

Pela regra do produto,
y' = u'v + u\,v' = 3\,(4 - x^3)^{\tfrac12} + 3x\!\Bigl(-\frac{3x^2}{2\,(4 - x^3)^{\tfrac12}}\Bigr) = 3\sqrt{4 - x^3} - \frac{9x^3}{2\sqrt{4 - x^3}}.

Passo 5

Colocando em um único quociente sobre 2\sqrt{4 - x^3}:
y' = \frac{6(4 - x^3) - 9x^3}{2\sqrt{4 - x^3}} = \frac{24 - 15x^3}{2\sqrt{4 - x^3}}.

Resposta

y' = \frac{24 - 15x^3}{2\sqrt{4 - x^3}}.

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