Exercício 16. Calcule a derivada das seguintes funções.
y=\operatorname{sen}^{3}(4 x)} Resposta: f^{\prime}(x)=12 \operatorname{sen}^{2}(4 x) \cos (4 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \sin^{3}(4x).
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia combinada com a derivada de uma potência.

Passo 2

Seja
u(x) = \sin(4x).
Então podemos escrever y = u(x)^{3}. Pela regra da potência, temos
\frac{dy}{dx} = 3\,u(x)^{2}\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Agora calculamos \frac{du}{dx}. Como u(x)=\sin(4x), pela regra da cadeia (derivada de \sin e depois de 4x) obtemos
\frac{du}{dx} = \cos(4x)\cdot \frac{d}{dx}(4x) = \cos(4x)\cdot 4 = 4\cos(4x).

Passo 4

Substituindo em \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = 3\,\bigl(\sin(4x)\bigr)^{2}\,\bigl(4\cos(4x)\bigr) = 12\,\sin^{2}(4x)\,\cos(4x).

Resposta

f'(x) = 12 \sin^{2}(4x)\cos(4x)

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