Exercício 16. Calcule a derivada das seguintes funções.
y=\frac{2 t^{3}}{\sqrt[4]{t^{4}+1}}} Resposta: f^{\prime}(t)=\frac{6 t^{2} \sqrt[4]{t^{4}+1}-\frac{2 t^{6}}{\sqrt[4]{t^{4}+1}}}{\sqrt{t^{4}+1}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{2\,t^{3}}{\sqrt[4]{t^{4}+1}}.
Aqui vamos usar reescrever a função como produto envolvendo uma potência negativa e então aplicar a regra do produto junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevendo em forma de potência, temos
y = 2\,t^{3}\,(t^{4}+1)^{-\tfrac{1}{4}}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto,
y' = \bigl(2\,t^{3}\bigr)' \,(t^{4}+1)^{-\tfrac{1}{4}} \;+\;2\,t^{3}\;\bigl((t^{4}+1)^{-\tfrac{1}{4}}\bigr)'.
Calculamos cada termo:
\bigl(2\,t^{3}\bigr)' = 6\,t^{2},
\bigl((t^{4}+1)^{-\tfrac{1}{4}}\bigr)' = -\tfrac{1}{4}\,(t^{4}+1)^{-\tfrac{5}{4}}\cdot 4\,t^{3} = -\,t^{3}\,(t^{4}+1)^{-\tfrac{5}{4}}.
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y' = 6\,t^{2}\,(t^{4}+1)^{-\tfrac{1}{4}} \;-\;2\,t^{3}\,\bigl[t^{3}\,(t^{4}+1)^{-\tfrac{5}{4}}\bigr] = 6\,t^{2}\,(t^{4}+1)^{-\tfrac{1}{4}} -2\,t^{6}\,(t^{4}+1)^{-\tfrac{5}{4}}.

Passo 4

Para simplificar, fatoramos t^{2}\,(t^{4}+1)^{-\tfrac{5}{4}}:
y' = t^{2}\,(t^{4}+1)^{-\tfrac{5}{4}}\bigl[6\,(t^{4}+1)-2\,t^{4}\bigr] = t^{2}\,(t^{4}+1)^{-\tfrac{5}{4}}(6\,t^{4}+6-2\,t^{4}) = t^{2}\,(t^{4}+1)^{-\tfrac{5}{4}}(4\,t^{4}+6).
Fatorando 2, obtemos a forma final mais enxuta.

Resposta

y' = \frac{2\,t^{2}\,\bigl(2\,t^{4}+3\bigr)}{(t^{4}+1)^{\tfrac{5}{4}}}.

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