Calcule a derivada de segunda ordem da função f dada por:
f(x)=\sqrt{x+3}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede explicitamente a derivada de segunda ordem. Informações úteis que temos:
  • A função é f(x)=\sqrt{x+3}.
  • Domínio natural da função: x>-3 (porque a raiz quadrada exige o radicando não negativo).
    O objetivo: calcular f''(x), isto é, a segunda derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos reescrever a função numa forma que facilita a diferenciação. A raiz quadrada pode ser escrita como potência:
f(x)=(x+3)^{\tfrac{1}{2}}.
Reescrever assim permite usar a regra da potência diretamente.

Passo 3

Resumo das regras que vamos usar (com explicação didática):
  • Regra da potência: se g(u)=u^{r} com r constante, então
g'(u)=r\,u^{r-1}.
Aqui u é a variável da função g (pode ser uma expressão).
  • Regra da cadeia: se F(x)=g(h(x)), então
F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Ou seja, derivar a função externa g avaliada na interna h(x) e multiplicar pela derivada da função interna h.
No nosso caso podemos ver f(x)=g(h(x)) com g(u)=u^{1/2} e h(x)=x+3. A derivada de h é simples: h'(x)=1.

Passo 4

Calcular a primeira derivada passo a passo:
Começando de f(x)=(x+3)^{\tfrac{1}{2}}, aplicando a regra da potência e a cadeia:
f'(x)=\tfrac{1}{2}(x+3)^{\tfrac{1}{2}-1}\cdot (x+3)'.
Como (x+3)'=1 e \tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2}, obtemos
f'(x)=\tfrac{1}{2}(x+3)^{-\tfrac{1}{2}}.
Podemos escrever essa forma de maneira mais familiar usando a raiz:
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}.

Passo 5

Agora calculamos a segunda derivada. Partimos de f'(x)=\tfrac{1}{2}(x+3)^{-\tfrac{1}{2}}. Aplicamos novamente a regra da potência e a cadeia:
f''(x)=\tfrac{1}{2}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x+3)^{-\tfrac{1}{2}-1}\cdot (x+3)'.
Novamente (x+3)'=1 e -\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{3}{2}. Assim
f''(x)=-\tfrac{1}{4}(x+3)^{-\tfrac{3}{2}}.
Podemos reescrever de formas equivalentes, úteis para interpretação:
f''(x)=-\frac{1}{4(x+3)^{\tfrac{3}{2}}} \quad\text{ou}\quad f''(x)=-\frac{1}{4(x+3)\sqrt{x+3}}.
Observação rápida: f''(x)<0 para todo x>-3, ou seja, a função é côncava para baixo no domínio.

Resposta

f''(x)=-\frac{1}{4(x+3)^{\tfrac{3}{2}}}

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