Calcule a derivada de segunda ordem da função
dada por:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede explicitamente a derivada de segunda ordem. Informações úteis que temos:
- A função é
. - Domínio natural da função:
(porque a raiz quadrada exige o radicando não negativo).
O objetivo: calcular, isto é, a segunda derivada de em função de .
Passo 2
Vamos reescrever a função numa forma que facilita a diferenciação. A raiz quadrada pode ser escrita como potência:
Reescrever assim permite usar a regra da potência diretamente.
Passo 3
Resumo das regras que vamos usar (com explicação didática):
- Regra da potência: se
com constante, então
Aqui
é a variável da função
(pode ser uma expressão).
- Regra da cadeia: se
, então
Ou seja, derivar a função externa
avaliada na interna
e multiplicar pela derivada da função interna
.
No nosso caso podemos ver com
e
. A derivada de
é simples:
.
No nosso caso podemos ver
Passo 4
Calcular a primeira derivada passo a passo:
Começando de , aplicando a regra da potência e a cadeia:
Começando de
Como
e
, obtemos
Podemos escrever essa forma de maneira mais familiar usando a raiz:
Passo 5
Agora calculamos a segunda derivada. Partimos de
. Aplicamos novamente a regra da potência e a cadeia:
Novamente
e
. Assim
Podemos reescrever de formas equivalentes, úteis para interpretação:
Observação rápida:
para todo
, ou seja, a função é côncava para baixo no domínio.