Calcule a derivada de segunda ordem da função f dada por:
f(x)=\operatorname{arctg}(\ln (x))

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a derivada de segunda ordem, isto é f''(x):
f(x)=\operatorname{arctg}\bigl(\ln(x)\bigr).
Informações relevantes:
  • A função é composta: primeiro aplica-se x\mapsto \ln(x) e depois \operatorname{arctg} sobre esse resultado.
  • O domínio natural é x>0 (porque há \ln(x)).
  • O objetivo: calcular f'(x) e em seguida f''(x).

Passo 2

Revisão das regras que vou usar (explicadas bem devagar):
  • Regra da cadeia: se F(x)=g(h(x)), então
F'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Isto significa: derive a função exterior g mantendo h(x) como argumento, e multiplique pela derivada da função interior h.
  • Derivadas básicas que usarei:
    • A derivada de \operatorname{arctg}(t) em relação a t é
    \frac{d}{dt}\operatorname{arctg}(t)=\frac{1}{1+t^{2}}.
    • A derivada de \ln(x) é
    \frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular f'(x) aplicando a regra da cadeia com g(t)=\operatorname{arctg}(t) e h(x)=\ln(x).
Pela regra da cadeia:
f'(x)=\frac{1}{1+\bigl(\ln(x)\bigr)^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\ln(x).
Substituindo \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}, obtemos
f'(x)=\frac{1}{1+\bigl(\ln(x)\bigr)^{2}}\cdot\frac{1}{x}.
Organizando:
f'(x)=\frac{1}{x\bigl(1+\bigl(\ln(x)\bigr)^{2}\bigr)}.

Passo 4

Preparar o cálculo de f''(x). É mais conveniente escrever f'(x) como uma potência negativa:
f'(x)=\bigl[x\bigl(1+(\ln x)^{2}\bigr)\bigr]^{-1}.
Vou usar a derivada de u^{-1} que é -u' / u^{2}. Aqui u(x)=x\bigl(1+(\ln x)^{2}\bigr). Então preciso calcular u'(x) cuidadosamente.

Passo 5

Calcular u'(x) usando a regra do produto para u(x)=x\cdot v(x) com v(x)=1+(\ln x)^{2}.
Pela regra do produto:
u'(x)=1\cdot v(x) + x\cdot v'(x).
Agora v'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(1+(\ln x)^{2}\bigr)=2\ln(x)\cdot\frac{d}{dx}\ln(x)=2\ln(x)\cdot\frac{1}{x}=\frac{2\ln(x)}{x}. \] Substituindo em \(u'(x):
u'(x)=1+\bigl(\ln x\bigr)^{2} + x\cdot\frac{2\ln(x)}{x}.
O x cancela no último termo, ficando
u'(x)=1+(\ln x)^{2} + 2\ln x.
Reconhecendo um quadrado perfeito:
u'(x)=\bigl(1+\ln x\bigr)^{2}.)

Passo 6

Aplicar a fórmula para a derivada de u^{-1}. Como f'(x)=u(x)^{-1}, então
f''(x)=-\frac{u'(x)}{\bigl(u(x)\bigr)^{2}}.
Substituindo u(x)=x\bigl(1+(\ln x)^{2}\bigr) e u'(x)=\bigl(1+\ln x\bigr)^{2}, obtemos
f''(x)=-\frac{\bigl(1+\ln x\bigr)^{2}}{\bigl(x\bigl(1+(\ln x)^{2}\bigr)\bigr)^{2}}.

Passo 7

Explicitar o denominador ao quadrado para deixar a forma final clara:
\bigl(x\bigl(1+(\ln x)^{2}\bigr)\bigr)^{2}=x^{2}\bigl(1+(\ln x)^{2}\bigr)^{2}.
Portanto a expressão final fica
f''(x)=-\frac{\bigl(1+\ln x\bigr)^{2}}{x^{2}\bigl(1+(\ln x)^{2}\bigr)^{2}}.
Essa é a forma simplificada e correta para x>0.

Resposta

f''(x)=-\frac{\bigl(1+\ln x\bigr)^{2}}{x^{2}\bigl(1+(\ln x)^{2}\bigr)^{2}}.

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