Calcule a derivada de segunda ordem da função
dada por:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada de segunda ordem, isto é
:
Informações relevantes:
- A função é composta: primeiro aplica-se
e depois sobre esse resultado. - O domínio natural é
(porque há ). - O objetivo: calcular
e em seguida .
Passo 2
Revisão das regras que vou usar (explicadas bem devagar):
- Regra da cadeia: se
, então
Isto significa: derive a função exterior
mantendo
como argumento, e multiplique pela derivada da função interior
.
- Derivadas básicas que usarei:
- A derivada de
em relação a é
- A derivada de
é
- A derivada de
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Calcular
aplicando a regra da cadeia com
e
.
Pela regra da cadeia:
Substituindo
, obtemos
Organizando:
Passo 4
Preparar o cálculo de
. É mais conveniente escrever
como uma potência negativa:
Vou usar a derivada de
que é
. Aqui
. Então preciso calcular
cuidadosamente.
Passo 5
Calcular
usando a regra do produto para
com
.
Pela regra do produto:
Agora
:
O
cancela no último termo, ficando
Reconhecendo um quadrado perfeito:
Passo 6
Aplicar a fórmula para a derivada de
. Como
, então
Substituindo
e
, obtemos
Passo 7
Explicitar o denominador ao quadrado para deixar a forma final clara:
Portanto a expressão final fica
Essa é a forma simplificada e correta para
.