Calcule a derivada de segunda ordem da função f dada por:
(f)=\mathrm{e}^{x^{2}} \cos ^{2}(x)

Passo 1

O enunciado fornece a função f e pede a derivada de segunda ordem. Informações dadas:
  • f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}\cos^{2}(x).
O que é pedido:
  • Calcular f''(x), a segunda derivada de f.

Passo 2

Primeiro vamos calcular f'(x). Para isso usamos a regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui vamos escolher u(x)=\mathrm{e}^{x^{2}} e v(x)=\cos^{2}(x).
Explico as derivadas que precisaremos:
  • Para u(x)=\mathrm{e}^{x^{2}} usamos a regra da cadeia: a derivada de \mathrm{e}^{g(x)} é g'(x)\mathrm{e}^{g(x)}. Como g(x)=x^{2}, tem-se g'(x)=2x. Logo
u'(x)=2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}.
  • Para v(x)=\cos^{2}(x) também usamos regra da cadeia: v(x)=(\cos x)^{2}. A derivada de w^{2} em relação a x é 2w\cdot w'. Assim
v'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\cos x\sin x.
Reconhecendo identidades trigonométricas, -2\cos x\sin x = -\sin(2x). Então
v'(x)=-\sin(2x).

Passo 3

Aplicando a regra do produto com os resultados acima:
f'(x)=u'v+uv' = \bigl(2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\bigr)\cos^{2}(x) + \mathrm{e}^{x^{2}}\bigl(-\sin(2x)\bigr).
Fatorando \mathrm{e}^{x^{2}},
f'(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}\bigl(2x\cos^{2}(x)-\sin(2x)\bigr).

Passo 4

Agora calculamos f''(x), derivando f'(x). Novamente usamos a regra do produto, agora com
f'(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}\cdot g(x), \qquad\text{onde}\qquad g(x)=2x\cos^{2}(x)-\sin(2x).
Pela regra do produto,
f''(x)=\bigl(\mathrm{e}^{x^{2}}\bigr)'\,g(x)+\mathrm{e}^{x^{2}}\,g'(x).
Sabemos que \bigl(\mathrm{e}^{x^{2}}\bigr)'=2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}. Portanto
f''(x)=2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,g(x)+\mathrm{e}^{x^{2}}\,g'(x).
Fatorando \mathrm{e}^{x^{2}},
f''(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}\Bigl(2x\,g(x)+g'(x)\Bigr).

Passo 5

Precisamos de g'(x). Lembrando g(x)=2x\cos^{2}(x)-\sin(2x), calculemos termo a termo.
Para h(x)=2x\cos^{2}(x) usamos produto novamente:
  • derivada de 2x é 2, então a parte 2\cos^{2}(x);
  • mais 2x vezes a derivada de \cos^{2}(x), que já vimos ser -\sin(2x).
    Logo
h'(x)=2\cos^{2}(x)+2x\bigl(-\sin(2x)\bigr)=2\cos^{2}(x)-2x\sin(2x).
Para k(x)=-\sin(2x) usamos cadeia: derivada de \sin(2x) é 2\cos(2x), então
k'(x)=-2\cos(2x).
Somando,
g'(x)=h'(x)+k'(x)=\bigl(2\cos^{2}(x)-2x\sin(2x)\bigr)+\bigl(-2\cos(2x)\bigr).
Portanto
g'(x)=2\cos^{2}(x)-2x\sin(2x)-2\cos(2x).

Passo 6

Substituindo g(x) e g'(x) em f''(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}\bigl(2x\,g(x)+g'(x)\bigr):
f''(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}\Bigl(2x\bigl(2x\cos^{2}(x)-\sin(2x)\bigr) + \bigl(2\cos^{2}(x)-2x\sin(2x)-2\cos(2x)\bigr)\Bigr).
Agora vamos simplificar passo a passo. Primeiro expandindo 2x sobre g(x):
2x\bigl(2x\cos^{2}(x)-\sin(2x)\bigr)=4x^{2}\cos^{2}(x)-2x\sin(2x).
Somando com g'(x):
4x^{2}\cos^{2}(x)-2x\sin(2x)+2\cos^{2}(x)-2x\sin(2x)-2\cos(2x).
Agrupando termos semelhantes:
(4x^{2}+2)\cos^{2}(x) -4x\sin(2x) -2\cos(2x).
Podemos reescrever \cos^{2}(x) usando a identidade \cos^{2}(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2} para obter uma forma mais compacta. Fazendo isso:
(4x^{2}+2)\cos^{2}(x)=(4x^{2}+2)\frac{1+\cos(2x)}{2}=(2x^{2}+1)+(2x^{2}+1)\cos(2x).
Substituindo na expressão anterior:
(2x^{2}+1)+(2x^{2}+1)\cos(2x)-4x\sin(2x)-2\cos(2x).
Agrupando os termos em \cos(2x):
(2x^{2}+1) + \bigl((2x^{2}+1)-2\bigr)\cos(2x) -4x\sin(2x).
Ou seja,
(2x^{2}+1) + (2x^{2}-1)\cos(2x) -4x\sin(2x).
Logo a segunda derivada fica
f''(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}\Bigl((2x^{2}+1) + (2x^{2}-1)\cos(2x) -4x\sin(2x)\Bigr).

Resposta

f''(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}\Bigl((2x^{2}+1) + (2x^{2}-1)\cos(2x) -4x\sin(2x)\Bigr)

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