Calcule a derivada de segunda ordem da função
dada por:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede a derivada de segunda ordem. Informações dadas:
-
.
O que é pedido:
- Calcular
, a segunda derivada de .
Passo 2
Primeiro vamos calcular
. Para isso usamos a regra do produto: se
e
são funções, então
Aqui vamos escolher
e
.
Explico as derivadas que precisaremos:
- Para
usamos a regra da cadeia: a derivada de é . Como , tem-se . Logo
- Para
também usamos regra da cadeia: . A derivada de em relação a é . Assim
Reconhecendo identidades trigonométricas,
. Então
Passo 3
Aplicando a regra do produto com os resultados acima:
Fatorando
,
Passo 4
Agora calculamos
, derivando
. Novamente usamos a regra do produto, agora com
Pela regra do produto,
Sabemos que
. Portanto
Fatorando
,
Passo 5
Precisamos de
. Lembrando
, calculemos termo a termo.
Para
usamos produto novamente:
- derivada de
é , então a parte ; - mais
vezes a derivada de , que já vimos ser .
Logo
Para
usamos cadeia: derivada de
é
, então
Somando,
Portanto
Passo 6
Substituindo
e
em
:
Agora vamos simplificar passo a passo. Primeiro expandindo
sobre
:
Somando com
:
Agrupando termos semelhantes:
Podemos reescrever
usando a identidade
para obter uma forma mais compacta. Fazendo isso:
Substituindo na expressão anterior:
Agrupando os termos em
:
Ou seja,
Logo a segunda derivada fica