Calcule a derivada de segunda ordem, representada por
ou
para cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada de segunda ordem, isto é
ou
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é a exponencial composta
com . - Precisa-se da segunda derivada em relação a
.
Passo 2
Relembrando a regra que vamos usar (explicadinha passo a passo). Para uma função composta da forma
, vale a regra da cadeia:
O que isso significa, em palavras: para derivar
primeiro derivamos o expoente
(obtendo
) e depois multiplicamos pelo próprio
.
Também usamos a regra do fator constante: se é constante e
é função, então
Também usamos a regra do fator constante: se
Essas duas regras juntas resolvem o problema.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia para achar a primeira derivada. Aqui
, portanto
Agora derivamos
usando
:
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada derivando
. Aplicamos a regra do fator constante e a cadeia novamente:
Já sabemos da regra da cadeia que
. Substituindo,
Passo 5
Comentário útil para prova (memorização prática): para funções da forma
cada derivada em
traz um fator
. Assim
o que bate com o caso
usado aqui.