Calcule a derivada de segunda ordem, representada por \mathrm{f}^{\'\prime}(\mathrm{x}) ou \frac{d^{2} y}{d x^{2}} para cada uma das funções abaixo:
\mathrm{g}(\mathrm{x})=e^{3 x}

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=e^{3x} e pede a derivada de segunda ordem, isto é \mathrm{g}^{\prime\prime}(x) ou \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.
Informações relevantes:
  • A função é a exponencial composta e^{u(x)} com u(x)=3x.
  • Precisa-se da segunda derivada em relação a x.

Passo 2

Relembrando a regra que vamos usar (explicadinha passo a passo). Para uma função composta da forma e^{u(x)}, vale a regra da cadeia:
\frac{d}{dx} e^{u(x)} = u'(x)\,e^{u(x)}.
O que isso significa, em palavras: para derivar e^{u(x)} primeiro derivamos o expoente u(x) (obtendo u'(x)) e depois multiplicamos pelo próprio e^{u(x)}.
Também usamos a regra do fator constante: se c é constante e h(x) é função, então
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot h(x)\bigr)=c\cdot h'(x).
Essas duas regras juntas resolvem o problema.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia para achar a primeira derivada. Aqui u(x)=3x, portanto
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x)=3.
Agora derivamos g(x)=e^{3x} usando \frac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)e^{u(x)}:
g'(x)=\frac{d}{dx}e^{3x}=u'(x)\,e^{u(x)}=3\,e^{3x}.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada derivando g'(x)=3e^{3x}. Aplicamos a regra do fator constante e a cadeia novamente:
g''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3e^{3x}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}e^{3x}.
Já sabemos da regra da cadeia que \dfrac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}. Substituindo,
g''(x)=3\cdot\bigl(3e^{3x}\bigr)=9e^{3x}.

Passo 5

Comentário útil para prova (memorização prática): para funções da forma e^{ax} cada derivada em x traz um fator a. Assim
\frac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax},\qquad \frac{d^{2}}{dx^{2}}e^{ax}=a^{2}e^{ax},
o que bate com o caso a=3 usado aqui.

Resposta

g''(x)=9e^{3x}

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