Determine a derivada de cada uma das funções abaixo utilizando exclusivamente a definição de limite:
\mathrm{g}(\mathrm{x})=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função g dada por
g(x)=\frac{1}{x}
usando exclusivamente a definição de derivada por limite. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é g(x)=\dfrac{1}{x}.
  • O domínio natural dessa função é todos os x tais que x\neq0.
  • A derivada deve ser obtida pela definição limite (isto é, sem usar regras prontas como regra do quociente).

Passo 2

Lembrando a definição de derivada no ponto x: a derivada g'(x) é o limite (quando existir)
g'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h},
onde h representa um pequeno incremento em x. Intuição rápida: essa razão mede a inclinação da reta secante entre (x,g(x)) e (x+h,g(x+h)); ao levar h\to0 obtemos a inclinação instantânea (reta tangente).

Passo 3

Aplicando a definição à função g(x)=\dfrac{1}{x}, escrevemos a diferença quociente e substituímos g:
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h}.
Vamos simplificar o numerador encontrando denominador comum. O numerador é
\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}=\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}.
Aqui mostro passo a passo: o denominador comum de \dfrac{1}{x+h} e \dfrac{1}{x} é x(x+h). Ao escrever ambos sobre esse denominador, obtemos \dfrac{x}{x(x+h)}-\dfrac{x+h}{x(x+h)}=\dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)}.

Passo 4

Continuando a simplificação do quociente:
\frac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h} =\frac{\dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h} =\frac{\dfrac{-h}{x(x+h)}}{h}.
Agora dividimos por h: dividir \dfrac{-h}{x(x+h)} por h é o mesmo que multiplicar por \dfrac{1}{h}, portanto ocorre cancelamento do fator h (desde que h\neq0, o que vale ao avaliar o quociente antes de tomar o limite):
\frac{\dfrac{-h}{x(x+h)}}{h}=-\frac{1}{x(x+h)}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando h\to0:
g'(x)=\lim_{h\to0}\left(-\frac{1}{x(x+h)}\right).
Para cada ponto fixo x\neq0 o termo x+h tende a x quando h\to0. Como a função t\mapsto -\dfrac{1}{x t} (vista como função de t) é contínua em t=x quando x\neq0, podemos substituir h=0 no fator x+h. Assim o limite é
g'(x)=-\frac{1}{x\cdot x}=-\frac{1}{x^{2}}.
Observação importante: não é possível aplicar isso em x=0 porque g não está definida em x=0 (divisão por zero), logo a derivada só faz sentido para x\neq0.

Passo 6

Resumo final e dica prática para a prova: ao usar a definição, tente sempre juntar as frações do numerador com denominador comum para aparecer um fator h que cancele com o do denominador externo; depois é só fazer a substituição h\to0. Aqui o cancelamento foi imediato porque no numerador apareceu exatamente -h.

Resposta

\,g'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}} para x\neq0

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