Determine a derivada de cada uma das funções abaixo utilizando exclusivamente a definição de limite:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
dada por
usando exclusivamente a definição de derivada por limite. Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O domínio natural dessa função é todos os
tais que . - A derivada deve ser obtida pela definição limite (isto é, sem usar regras prontas como regra do quociente).
Passo 2
Lembrando a definição de derivada no ponto
: a derivada
é o limite (quando existir)
onde
representa um pequeno incremento em
. Intuição rápida: essa razão mede a inclinação da reta secante entre
e
; ao levar
obtemos a inclinação instantânea (reta tangente).
Passo 3
Aplicando a definição à função
, escrevemos a diferença quociente e substituímos
:
Vamos simplificar o numerador encontrando denominador comum. O numerador é
Aqui mostro passo a passo: o denominador comum de
e
é
. Ao escrever ambos sobre esse denominador, obtemos
.
Passo 4
Continuando a simplificação do quociente:
Agora dividimos por
: dividir
por
é o mesmo que multiplicar por
, portanto ocorre cancelamento do fator
(desde que
, o que vale ao avaliar o quociente antes de tomar o limite):
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
:
Para cada ponto fixo
o termo
tende a
quando
. Como a função
(vista como função de
) é contínua em
quando
, podemos substituir
no fator
. Assim o limite é
Observação importante: não é possível aplicar isso em
porque
não está definida em
(divisão por zero), logo a derivada só faz sentido para
.
Passo 6
Resumo final e dica prática para a prova: ao usar a definição, tente sempre juntar as frações do numerador com denominador comum para aparecer um fator
que cancele com o do denominador externo; depois é só fazer a substituição
. Aqui o cancelamento foi imediato porque no numerador apareceu exatamente
.