Calcule a derivada de segunda ordem, representada por \mathrm{f}^{\'\prime}(\mathrm{x}) ou \frac{d^{2} y}{d x^{2}} para cada uma das funções abaixo:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=x^{4}-5 x^{3}+2 x-10

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial abaixo e pede a derivada de segunda ordem (ou seja, \mathrm{f}''(\mathrm{x}) ou \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} ):
\mathrm{f}(\mathrm{x}) = x^{4} - 5x^{3} + 2x - 10.
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma função polinomial de grau 4.
  • Os coeficientes de cada termo são: para x^{4} é 1, para x^{3} é -5, para x é 2 e a constante é -10.
    A tarefa é calcular a derivada de segunda ordem dessa função.

Passo 2

O que é derivada e quais regras básicas vamos usar (explicação didática e simples).
  • Intuição: a derivada de uma função em um ponto mede a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. A segunda derivada mede como essa inclinação está mudando (se está subindo ou descendo).
  • Regras que vamos usar (cada fórmula será explicada):
    • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
    • Regra do fator constante: se c é constante, \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big) = c\cdot g'(x).
    • Regra do poder (power rule): para inteiro n, \frac{d}{dx}\big(x^{n}\big) = n\,x^{n-1}.Explicando: multiplicamos pelo expoente e reduzimos o expoente em 1. Por exemplo, a derivada de x^{4} é 4x^{3} porque 4 vem do expoente e o novo expoente é 4-1=3.
  • A derivada de uma constante é zero: \frac{d}{dx}\text{(C)}=0,\quad \text{para constante } C.

Passo 3

O que é segunda derivada e notação.
  • A segunda derivada é a derivada da derivada: se \mathrm{f}'(x) é a primeira derivada, então \mathrm{f}''(x)=\frac{d}{dx}\big(\mathrm{f}'(x)\big).
  • Notações equivalentes que aparecem em provas: \mathrm{f}''(x)\quad\text{ou}\quad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}.

Passo 4

Aplicando as regras para obter a primeira derivada termo a termo (explicando cada termo).
A função é soma de quatro termos; aplicamos a regra da soma e a regra do poder a cada termo.
  • Para x^{4}: pela regra do poder, \frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)=4x^{3}.Aqui multiplicamos pelo expoente 4 e reduzimos o expoente para 3.
  • Para -5x^{3}: fator constante -5 multiplicando x^{3}. Aplicando as regras, \frac{d}{dx}\big(-5x^{3}\big) = -5\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big) = -5\cdot(3x^{2}) = -15x^{2}.Explicação: primeiro deriva-se x^{3} (dá 3x^{2}), depois multiplica-se pelo coeficiente -5.
  • Para 2x: é caso n=1, então \frac{d}{dx}\big(2x\big)=2\cdot\frac{d}{dx}(x)=2\cdot 1 = 2.Ou diretamente pela regra do poder com n=1: 1\cdot x^{0}=1, multiplicado por 2 2.
  • Para a constante -10: \frac{d}{dx}(-10)=0.

Passo 5

Somando os resultados do passo anterior, obtemos a primeira derivada \mathrm{f}'(x):
\mathrm{f}'(x) = 4x^{3} - 15x^{2} + 2.

Passo 6

Agora calculamos a segunda derivada derivando \mathrm{f}'(x) termo a termo usando de novo a regra do poder.
  • Para 4x^{3}: \frac{d}{dx}\big(4x^{3}\big)=4\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=4\cdot(3x^{2})=12x^{2}.
  • Para -15x^{2}: \frac{d}{dx}\big(-15x^{2}\big)=-15\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=-15\cdot(2x)=-30x.
  • Para 2 (constante): \frac{d}{dx}(2)=0.

Passo 7

Somando os termos do passo anterior, obtemos a segunda derivada final. Também apresento uma forma fatorada que às vezes é útil em provas:
\mathrm{f}''(x)=12x^{2}-30x.
Fatorando em comum 6x:
\mathrm{f}''(x)=6x(2x-5).
Pequena explicação do fatoramento: 12x^{2}-30x tem fator comum 6x porque 6x divide ambos os termos; ao dividir cada termo por 6x sobra 2x e -5, respectivamente.

Resposta

\mathrm{f}''(x)=12x^{2}-30x

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