Calcule a derivada de segunda ordem, representada por
ou
para cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função polinomial abaixo e pede a derivada de segunda ordem (ou seja,
ou
):
Informações relevantes fornecidas:
- É uma função polinomial de grau
. - Os coeficientes de cada termo são: para
é , para é , para é e a constante é .
A tarefa é calcular a derivada de segunda ordem dessa função.
Passo 2
O que é derivada e quais regras básicas vamos usar (explicação didática e simples).
- Intuição: a derivada de uma função em um ponto mede a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. A segunda derivada mede como essa inclinação está mudando (se está subindo ou descendo).
- Regras que vamos usar (cada fórmula será explicada):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas.
- Regra do fator constante: se
é constante, . - Regra do poder (power rule): para inteiro
, Explicando: multiplicamos pelo expoente e reduzimos o expoente em . Por exemplo, a derivada de é porque vem do expoente e o novo expoente é .
- A derivada de uma constante é zero:
Passo 3
O que é segunda derivada e notação.
- A segunda derivada é a derivada da derivada: se
é a primeira derivada, então - Notações equivalentes que aparecem em provas:
Passo 4
Aplicando as regras para obter a primeira derivada termo a termo (explicando cada termo).
A função é soma de quatro termos; aplicamos a regra da soma e a regra do poder a cada termo.
A função é soma de quatro termos; aplicamos a regra da soma e a regra do poder a cada termo.
- Para
: pela regra do poder, Aqui multiplicamos pelo expoente e reduzimos o expoente para . - Para
: fator constante multiplicando . Aplicando as regras, Explicação: primeiro deriva-se (dá ), depois multiplica-se pelo coeficiente . - Para
: é caso , então Ou diretamente pela regra do poder com : , multiplicado por dá . - Para a constante
:
Passo 5
Somando os resultados do passo anterior, obtemos a primeira derivada
:
Passo 6
Agora calculamos a segunda derivada derivando
termo a termo usando de novo a regra do poder.
- Para
: - Para
: - Para
(constante):
Passo 7
Somando os termos do passo anterior, obtemos a segunda derivada final. Também apresento uma forma fatorada que às vezes é útil em provas:
Fatorando em comum
:
Pequena explicação do fatoramento:
tem fator comum
porque
divide ambos os termos; ao dividir cada termo por
sobra
e
, respectivamente.