Calcule a derivada:
y=x^{x} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = x^{x}\operatorname{sen} x.
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a derivação de x^{x}, que faremos reescrevendo x^{x} como exponencial.

Passo 2

Para derivar x^{x}, escrevemos
x^{x} = e^{x\ln x}
e usamos a cadeia. Como \frac{d}{dx}e^{u(x)} = e^{u(x)}u'(x) e u(x)=x\ln x, temos
u'(x)=\frac{d}{dx}(x\ln x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac1x = \ln x +1.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl(x^{x}\bigr) = e^{x\ln x}(\ln x +1) = x^{x}(\ln x +1).

Passo 3

A derivada de \operatorname{sen} x é
\frac{d}{dx}(\operatorname{sen} x)=\cos x.

Passo 4

Aplicando a regra do produto \frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) a f(x)=x^{x} e g(x)=\operatorname{sen} x, obtemos
y' = \frac{d}{dx}(x^{x})\;\operatorname{sen} x \;+\; x^{x}\;\frac{d}{dx}(\operatorname{sen} x) = x^{x}(\ln x +1)\operatorname{sen} x \;+\; x^{x}\cos x.

Passo 5

Podemos fatorar x^{x} para simplificar:
y' = x^{x}\bigl[(\ln x +1)\operatorname{sen} x + \cos x\bigr].

Resposta

y' = x^{x}\bigl[(\ln x +1)\operatorname{sen} x + \cos x\bigr].

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