Calcule as derivadas abaixo através da definição \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}.
f(x)=x^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x^{3} usando a definição
f'(x_{0}) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}.
Vamos aplicar essa fórmula direto em f(x)=x^{3}.

Passo 2

Substituindo f(x_{0}+\Delta x)=(x_{0}+\Delta x)^{3} e f(x_{0})=x_{0}^{3} na definição, obtemos
f'(x_{0}) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x_{0}+\Delta x)^{3} - x_{0}^{3}}{\Delta x}.

Passo 3

Expandindo (x_{0}+\Delta x)^{3} pelo binômio de Newton, tem-se
(x_{0}+\Delta x)^{3} = x_{0}^{3} + 3x_{0}^{2}\,\Delta x + 3x_{0}\,(\Delta x)^{2} + (\Delta x)^{3}.
Logo o numerador vira
x_{0}^{3} + 3x_{0}^{2}\,\Delta x + 3x_{0}\,(\Delta x)^{2} + (\Delta x)^{3} - x_{0}^{3} = 3x_{0}^{2}\,\Delta x + 3x_{0}\,(\Delta x)^{2} + (\Delta x)^{3}.

Passo 4

Dividindo o numerador por \Delta x, obtemos
\frac{3x_{0}^{2}\,\Delta x + 3x_{0}\,(\Delta x)^{2} + (\Delta x)^{3}}{\Delta x} = 3x_{0}^{2} + 3x_{0}\,\Delta x + (\Delta x)^{2}.

Passo 5

Ao fazer \Delta x \to 0, os termos 3x_{0}\,\Delta x e (\Delta x)^{2} se anulam, restando
f'(x_{0}) = 3x_{0}^{2}.

Resposta

f'(x) = 3x^{2}.

Exercícios relacionados