Calcule as derivadas abaixo através da definição \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}.
f(x)=x^{2}+2 x, no ponto \mathrm{x}=3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^{2}+2x no ponto x_{0}=3 usando a definição
f'(x_{0}) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0}+\Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}.
Aqui o conteúdo é a definição de derivada como limite do quociente incremental.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(3+\Delta x) substituindo x=3+\Delta x em f(x). Logo,
f(3+\Delta x) = (3+\Delta x)^{2} + 2\,(3+\Delta x) = 9 + 6\Delta x + (\Delta x)^{2} + 6 + 2\Delta x = 15 + 8\Delta x + (\Delta x)^{2}.

Passo 3

Agora montamos o quociente incremental:
\frac{f(3+\Delta x) - f(3)}{\Delta x} = \frac{\bigl(15 + 8\Delta x + (\Delta x)^{2}\bigr) - 15}{\Delta x} = \frac{8\Delta x + (\Delta x)^{2}}{\Delta x} = 8 + \Delta x.

Passo 4

Para obter a derivada, tomamos o limite quando \Delta x \to 0:
\lim_{\Delta x \to 0} (8 + \Delta x) = 8.

Resposta

A derivada de f em x=3 é f'(3)=8.

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