Calcule as derivadas abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- É pedido calcular a derivada da função
. - A função fornecida é
. - Informação importante que vamos usar: a função é uma composição entre o logaritmo natural
e o polinômio .
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática e simples, sem pular etapas).
- Regra do logaritmo natural: a derivada de
em relação a é . Ou seja, se tivéssemos a função , então . - Regra da cadeia (ideia principal): quando uma função é composição de duas funções, por exemplo
, a derivada é . Em palavras: deriva a função externa mantendo a interna e multiplica pela derivada da função interna. - Aplicando isso a
com , obtemos a fórmula prática muito usada:
Aqui:
-
é a função interna (aquela que está dentro do ); -
é a derivada dessa função interna; - o resultado divide
por .
Passo 3
Derivar a função interna
. Explicando passo a passo como derivar um polinômio:
- A derivada de
é . - A constante multiplicativa passa como fator: a derivada de
é . - A derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de uma constante é zero.
Aplicando isso a
:
Passo 4
Aplicar a regra do logaritmo com a regra da cadeia. Usando a fórmula do Passo 2:
Substituindo
e
:
Passo 5
Simplificar a expressão, se possível. Podemos, se quisermos, fatorar um
comum; também é possível dividir numerador e denominador por
ou por algum fator comum. Aqui há um fator comum
apenas, mas podemos escrever a forma mais enxuta extraindo um fator
no numerador:
- Numerador:
. - Denominador:
— não há fator comum óbvio com que simplifique termos de sem alterar o denominador.
A forma mais simples e usual é: