Calcule as derivadas abaixo:
f(x)=\ln \left(2 x^{3}+15\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • É pedido calcular a derivada da função f.
  • A função fornecida é f(x)=\ln\!\left(2x^{3}+15\right).
  • Informação importante que vamos usar: a função é uma composição entre o logaritmo natural \ln(\,\cdot\,) e o polinômio 2x^{3}+15.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática e simples, sem pular etapas).
  • Regra do logaritmo natural: a derivada de \ln(u) em relação a u é \dfrac{1}{u}. Ou seja, se tivéssemos a função h(u)=\ln(u), então h'(u)=\dfrac{1}{u}.
  • Regra da cadeia (ideia principal): quando uma função é composição de duas funções, por exemplo f(x)=h(g(x)), a derivada é f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x). Em palavras: deriva a função externa mantendo a interna e multiplica pela derivada da função interna.
  • Aplicando isso a f(x)=\ln\!\big(u(x)\big) com u(x)=2x^{3}+15, obtemos a fórmula prática muito usada:
\frac{d}{dx}\ln\!\big(u(x)\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui:
  • u(x) é a função interna (aquela que está dentro do \ln);
  • u'(x) é a derivada dessa função interna;
  • o resultado divide u'(x) por u(x).

Passo 3

Derivar a função interna u(x)=2x^{3}+15. Explicando passo a passo como derivar um polinômio:
  • A derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
  • A constante multiplicativa passa como fator: a derivada de a\cdot x^{n} é a\cdot n x^{n-1}.
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de uma constante é zero.
Aplicando isso a u(x)=2x^{3}+15:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(2x^{3}\big)+\frac{d}{dx}\big(15\big) =2\cdot 3x^{2}+0=6x^{2}.

Passo 4

Aplicar a regra do logaritmo com a regra da cadeia. Usando a fórmula do Passo 2:
\frac{d}{dx}\ln\!\big(u(x)\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Substituindo u(x)=2x^{3}+15 e u'(x)=6x^{2}:
f'(x)=\frac{6x^{2}}{2x^{3}+15}.

Passo 5

Simplificar a expressão, se possível. Podemos, se quisermos, fatorar um 1 comum; também é possível dividir numerador e denominador por 1 ou por algum fator comum. Aqui há um fator comum 1 apenas, mas podemos escrever a forma mais enxuta extraindo um fator 3 no numerador:
  • Numerador: 6x^{2}=3\cdot 2x^{2}.
  • Denominador: 2x^{3}+15=1\cdot(2x^{3}+15) — não há fator comum óbvio com 6x^{2} que simplifique termos de x sem alterar o denominador.
A forma mais simples e usual é:
f'(x)=\frac{6x^{2}}{2x^{3}+15}.

Resposta

f'(x)=\dfrac{6x^{2}}{2x^{3}+15}

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