Calcule as derivadas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada de
em relação a
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é produto de duas funções de
: e . - O objetivo é encontrar
.
Passo 2
Regra que vamos usar: a regra do produto. Ela diz o seguinte para duas funções
e
:
Aqui
e
são as derivadas de
e
em relação a
. A ideia intuitiva: a variação do produto é a soma da variação de um multiplicada pelo outro, mais a variação do outro multiplicada pelo primeiro.
Passo 3
Calcular
para
.
A derivada de em relação a
é
A derivada de
(Explicação simples: a função identidade tem inclinação constante
.)
Passo 4
Calcular
para
. Vou mostrar por diferenciação implícita, que é um jeito didático:
- Seja
. Isso significa que . - Diferenciando ambos os lados em relação a
, usando cadeia no lado esquerdo:
- Isolando
:
- Usando a identidade trigonométrica
e lembrando que , obtemos
Portanto
Passo 5
Aplicar a regra do produto com os resultados
e
:
Logo uma forma natural da derivada é
Passo 6
Se quiser uma única fração, coloca-se sobre o denominador
:
Observação sobre domínio: tanto
quanto
estão bem definidos para todo
, logo
existe para todo
.