Calcule as derivadas abaixo:
f(t)=t \operatorname{arctg} t

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(t)=t\operatorname{arctg}t\; e pede para calcular a derivada de f em relação a t.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é produto de duas funções de t: u(t)=t e v(t)=\operatorname{arctg}t.
  • O objetivo é encontrar f'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(t\operatorname{arctg}t\bigr).

Passo 2

Regra que vamos usar: a regra do produto. Ela diz o seguinte para duas funções u(t) e v(t):
\frac{d}{dt}\bigl(u(t)v(t)\bigr)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Aqui u'(t) e v'(t) são as derivadas de u e v em relação a t. A ideia intuitiva: a variação do produto é a soma da variação de um multiplicada pelo outro, mais a variação do outro multiplicada pelo primeiro.

Passo 3

Calcular u'(t) para u(t)=t.
A derivada de t em relação a t é
u'(t)=\frac{d}{dt}t=1.
(Explicação simples: a função identidade tem inclinação constante 1.)

Passo 4

Calcular v'(t) para v(t)=\operatorname{arctg}t. Vou mostrar por diferenciação implícita, que é um jeito didático:
  • Seja \;y=\operatorname{arctg}t\;. Isso significa que \tan y=t.
  • Diferenciando ambos os lados em relação a t, usando cadeia no lado esquerdo:
\frac{d}{dt}\bigl(\tan y\bigr)=\frac{d}{dt}t \quad\Rightarrow\quad \operatorname{sec}^{2}y\cdot\frac{dy}{dt}=1.
  • Isolando \dfrac{dy}{dt}:
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}y}.
  • Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y e lembrando que \tan y=t, obtemos
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{1+\tan^{2}y}=\frac{1}{1+t^{2}}.
Portanto
v'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{arctg}t\bigr)=\frac{1}{1+t^{2}}.

Passo 5

Aplicar a regra do produto com os resultados u'(t)=1 e v'(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}:
f'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t)=1\cdot\operatorname{arctg}t + t\cdot\frac{1}{1+t^{2}}.
Logo uma forma natural da derivada é
f'(t)=\operatorname{arctg}t+\frac{t}{1+t^{2}}.

Passo 6

Se quiser uma única fração, coloca-se sobre o denominador 1+t^{2}:
f'(t)=\frac{(1+t^{2})\operatorname{arctg}t + t}{1+t^{2}}.
Observação sobre domínio: tanto \operatorname{arctg}t quanto \dfrac{t}{1+t^{2}} estão bem definidos para todo t\in\mathbb{R}, logo f'(t) existe para todo t\in\mathbb{R}.

Resposta

\;f'(t)=\operatorname{arctg}t+\dfrac{t}{1+t^{2}}
\;f'(t)=\dfrac{(1+t^{2})\operatorname{arctg}t + t}{1+t^{2}}

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