Calcule as derivadas abaixo:
\psi(x)=e^{3 x} \operatorname{arctg}(15 x)

Passo 1

O enunciado dá a função
\psi(x)=e^{3 x}\,\operatorname{arctg}(15 x)
e pede para calcular a derivada \psi'(x).
Informações relevantes que temos:
  • A função é um produto de duas funções: f(x)=e^{3x} e g(x)=\operatorname{arctg}(15x).
  • Precisamos aplicar regras de derivação apropriadas para produtos e composições.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicando com calma):
  1. Regra do produto: se h(x)=u(x)\,v(x), então
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto significa: derive a primeira e multiplique pela segunda, depois some à primeira multiplicada pela derivada da segunda.
  1. Regra da cadeia: se y=\varphi(\sigma(x)), então
\frac{dy}{dx}=\varphi'(\sigma(x))\cdot\sigma'(x).
Ou seja, deriva-se a função externa em relação à interna e multiplica-se pela derivada da função interna.
  1. Derivadas básicas que vamos precisar:
  • Para u(x)=e^{kx} com k constante,
u'(x)=k\,e^{kx}.
Explicação: a exponencial mantém a forma e aparece o coeficiente da variável como fator.
  • Para \operatorname{arctg}(t) (arctan), com t variável,
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{arctg}(t)\big)=\frac{1}{1+t^{2}}.
Usando a regra da cadeia, se t=t(x) então
\frac{d}{dx}\operatorname{arctg}\big(t(x)\big)=\frac{t'(x)}{1+\big(t(x)\big)^{2}}.

Passo 3

Identificamos as partes do produto:
u(x)=e^{3x},\qquad v(x)=\operatorname{arctg}(15x).
Vamos calcular u'(x) e v'(x) separadamente antes de aplicar a regra do produto.

Passo 4

Derivando u(x)=e^{3x}:
Aplicando a regra para e^{kx} com k=3,
u'(x)=3\,e^{3x}.
Explicando: a derivada de e^{3x} é o mesmo exponencial vezes o coeficiente 3 da variável.

Passo 5

Derivando v(x)=\operatorname{arctg}(15x):
Aqui usamos a regra da cadeia com a função externa \operatorname{arctg}(t) e interna t(x)=15x.
Primeiro, a derivada da externa em relação a t é \dfrac{1}{1+t^{2}}.
Depois, a derivada da interna t(x)=15x é t'(x)=15.
Aplicando a regra da cadeia,
v'(x)=\frac{15}{1+(15x)^{2}}.
Observação: (15x)^{2}=225x^{2}, então podemos também escrever
v'(x)=\frac{15}{1+225x^{2}}.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto:
\psi'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo os valores que calculamos:
\psi'(x)=\big(3\,e^{3x}\big)\,\operatorname{arctg}(15x)+e^{3x}\,\frac{15}{1+225x^{2}}.

Passo 7

Fatorando e^{3x} para simplificar a expressão:
\psi'(x)=e^{3x}\left(3\,\operatorname{arctg}(15x)+\frac{15}{1+225x^{2}}\right).
Podemos, se quiser, fatorar um 3 dentro do parêntese:
\psi'(x)=3\,e^{3x}\left(\operatorname{arctg}(15x)+\frac{5}{1+225x^{2}}\right).
Ambas as formas são equivalentes; a segunda fica um pouco mais compacta.

Resposta

\psi'(x)=e^{3x}\left(3\,\operatorname{arctg}(15x)+\frac{15}{1+225x^{2}}\right)

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