Calcule as derivadas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes que temos:
- A função é um produto de duas funções:
e . - Precisamos aplicar regras de derivação apropriadas para produtos e composições.
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (explicando com calma):
- Regra do produto: se
, então
Isto significa: derive a primeira e multiplique pela segunda, depois some à primeira multiplicada pela derivada da segunda.
- Regra da cadeia: se
, então
Ou seja, deriva-se a função externa em relação à interna e multiplica-se pela derivada da função interna.
- Derivadas básicas que vamos precisar:
- Para
com constante,
Explicação: a exponencial mantém a forma e aparece o coeficiente da variável como fator.
- Para
(arctan), com variável,
Usando a regra da cadeia, se
então
Passo 3
Identificamos as partes do produto:
Vamos calcular
e
separadamente antes de aplicar a regra do produto.
Passo 4
Derivando
:
Aplicando a regra para com
,
Aplicando a regra para
Explicando: a derivada de
é o mesmo exponencial vezes o coeficiente
da variável.
Passo 5
Derivando
:
Aqui usamos a regra da cadeia com a função externa e interna
.
Aqui usamos a regra da cadeia com a função externa
Primeiro, a derivada da externa em relação a
é
.
Depois, a derivada da interna é
.
Depois, a derivada da interna
Aplicando a regra da cadeia,
Observação:
, então podemos também escrever
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 7
Fatorando
para simplificar a expressão:
Podemos, se quiser, fatorar um
dentro do parêntese:
Ambas as formas são equivalentes; a segunda fica um pouco mais compacta.