calcule as derivadas abaixo:
\frac{d}{d t} \sin (2 x+3 t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada em relação a t da função \sin(2x+3t). Ou seja, precisamos calcular
\frac{d}{dt}\sin(2x+3t).
Vou assumir que x não depende de t (isto é, x é tratado como constante quando diferenciamos em relação a t), porque o enunciado não diz que x é função de t.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz o seguinte: se temos uma função composta \sin(u(t)), então a derivada em relação a t é
\frac{d}{dt}\sin(u(t))=\cos(u(t))\cdot \frac{du}{dt}.
Explicando: u(t) é a função interior (chamei de u), \cos(u(t)) vem da derivada de \sin em relação ao seu argumento, e \frac{du}{dt} é a derivada do argumento em relação a t.

Passo 3

Identificamos a função interior. Seja
u(t)=2x+3t.
Agora calculamos \frac{du}{dt}. Como x é constante em relação a t, a derivada de 2x é 0 e a derivada de 3t é 3. Portanto
\frac{du}{dt}=\frac{d}{dt}(2x)+\frac{d}{dt}(3t)=0+3=3.
Observação rápida: a derivada de at em relação a t é a, e a derivada de uma constante é 0.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia com u(t)=2x+3t e \frac{du}{dt}=3, obtemos
\frac{d}{dt}\sin(2x+3t)=\cos(2x+3t)\cdot 3.
Simplificando, escrevemos o resultado como
3\cos(2x+3t).

Passo 5

Exemplo rápido para fixar: se tivesse \frac{d}{dt}\sin(5t), aqui u(t)=5t e u'(t)=5, então o resultado seria 5\cos(5t). É o mesmo raciocínio: derivada da seno vezes derivada do argumento.

Resposta

3\cos(2x+3t)

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