calcule as derivadas abaixo:
\frac{d}{d x} \sin (2 x+3 t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada em relação a x da função \sin(2x+3t). Informações relevantes dadas:
  • A variável de diferenciação é x.
  • A expressão dentro do seno é 2x+3t.
  • t aparece como outro símbolo (tratamos t como constante em relação a x — isto é importante para as derivadas).

Passo 2

Vamos lembrar a regra fundamental que vamos usar: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte:
\frac{d}{dx}\sin(u(x))=\cos(u(x))\cdot u'(x).
Aqui eu chamo de u(x) a “função interna” (o que está dentro do seno). A ideia é: primeiro derivamos a função externa ( \sin) mantendo a interna como está, o que dá \cos(u(x)), e depois multiplicamos pela derivada da função interna u'(x).

Passo 3

Identificamos a função interna:
u(x)=2x+3t.
Agora vamos calcular a derivada dessa função interna em relação a x. Como t é constante em relação a x, a derivada de 3t é zero. Portanto:
u'(x)=\frac{d}{dx}(2x+3t)=\frac{d}{dx}(2x)+\frac{d}{dx}(3t)=2+0=2.
Explicando de forma bem direta: a derivada de 2x é 2; a derivada de uma constante (aqui 3t) é 0.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia da Passo 2 com u(x)=2x+3t e u'(x)=2, obtemos:
\frac{d}{dx}\sin(2x+3t)=\cos(2x+3t)\cdot 2.

Passo 5

Simplificando a notação multiplicativa (colocando o fator 2 na frente), ficamos com a forma final mais usual:
\frac{d}{dx}\sin(2x+3t)=2\cos(2x+3t).
Intuição rápida: o fator 2 aparece porque o argumento 2x+3t muda duas vezes mais rápido em x do que x sozinho — a regra da cadeia “puxa” esse fator pra fora.

Resposta

2\cos(2x+3t)

Exercícios relacionados