Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A variável de integração é
(porque o diferencial é ). - A função a integrar é
. - O símbolo
aparece, e como a integração é em relação a , vamos tratar como uma constante (não depende de ).
Não vou resolver nada neste passo; só coloquei o que foi pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Princípios básicos que vamos usar (explicados de forma bem didática):
- Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Em fórmulas,
Isto é natural: podemos integrar cada parcela separadamente.
- Constante em fator: se
é constante (não depende de ), então
No nosso caso
será essa constante.
Passo 3
Regra da potência (a que vamos aplicar para
):
- Para qualquer número real
,
onde
é a constante de integração.
Por que isso funciona? Porque, pela regra da derivada, . A integral é justamente a operação inversa da derivada, então o primitivo de
é
.
Por que isso funciona? Porque, pela regra da derivada,
Passo 4
Usando a linearidade, separamos a integral em duas:
Agora resolvemos cada parcela.
Passo 5
Calcular
com a regra da potência:
aqui , então
aqui
(Estou escrevendo um constante
temporária — no final juntamos as constantes.)
Passo 6
Calcular
. Como
é constante em relação a
, aplicamos a regra da constante:
Uma maneira rápida de ver que isso está certo é derivar
em relação a
:
, que é a função que queríamos recuperar.
Passo 7
Somando as duas parcelas e juntando as constantes de integração (
é mais uma constante que chamo de
), obtemos o primitivo geral:
onde
é a constante de integração arbitrária. Parabéns — chegamos à resposta.