Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int\left(x^{2}+t\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+t\right)\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A variável de integração é x (porque o diferencial é dx).
  • A função a integrar é x^{2}+t.
  • O símbolo t aparece, e como a integração é em relação a x, vamos tratar t como uma constante (não depende de x).
    Não vou resolver nada neste passo; só coloquei o que foi pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Princípios básicos que vamos usar (explicados de forma bem didática):
  • Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Em fórmulas,
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
Isto é natural: podemos integrar cada parcela separadamente.
  • Constante em fator: se a é constante (não depende de x), então
\int a\cdot h(x)\,dx = a\int h(x)\,dx.
No nosso caso t será essa constante.

Passo 3

Regra da potência (a que vamos aplicar para \int x^{2}\,dx):
  • Para qualquer número real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração.
Por que isso funciona? Porque, pela regra da derivada, \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right) = x^{n}. A integral é justamente a operação inversa da derivada, então o primitivo de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}.

Passo 4

Usando a linearidade, separamos a integral em duas:
\int\left(x^{2}+t\right)\,dx = \int x^{2}\,dx + \int t\,dx.
Agora resolvemos cada parcela.

Passo 5

Calcular \int x^{2}\,dx com a regra da potência:
aqui n=2, então
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + C_{1}.
(Estou escrevendo um constante C_{1} temporária — no final juntamos as constantes.)

Passo 6

Calcular \int t\,dx. Como t é constante em relação a x, aplicamos a regra da constante:
\int t\,dx = t\int 1\,dx = t\cdot x + C_{2}.
Uma maneira rápida de ver que isso está certo é derivar t x em relação a x: \dfrac{d}{dx}(t x)=t, que é a função que queríamos recuperar.

Passo 7

Somando as duas parcelas e juntando as constantes de integração ( C_{1}+C_{2} é mais uma constante que chamo de C), obtemos o primitivo geral:
\frac{x^{3}}{3} + t x + C,
onde C é a constante de integração arbitrária. Parabéns — chegamos à resposta.

Resposta

\frac{x^{3}}{3} + t x + C

Exercícios relacionados