A Lissajous é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
. Assinale um ponto em que a reta tangente à Lissajous é horizontal:
(a)
(b)
(c)
(d) não existe tal ponto
(a)
(b)
(c)
(d) não existe tal ponto
Passo 1
O enunciado dá a curva (a Lissajous)
e pede que assinalemos um ponto em que a reta tangente à curva é horizontal. As alternativas são:
(a)
(b)
(c)
(d) não existe tal ponto
(a)
(b)
(c)
(d) não existe tal ponto
Passo 2
O que significa “reta tangente horizontal”? Significa que a inclinação (o coeficiente angular) da tangente é zero, isto é,
. Como a curva é dada por uma equação envolvendo
e
, vamos obter
por diferenciação implícita: tratamos
como função de
(mesmo que não a conheçamos explicitamente) e diferenciamos ambos os lados em relação a
.
Para diferenciar, uso regras básicas:
-
, - regra da cadeia:
(porque depende de ).
Aplicando à equação
:
derivando termo a termo em relação a ,
derivando termo a termo em relação a
Isto dá
Passo 3
Agora isolamos
. Subtraindo
e dividindo por
:
Fatorando:
Passo 4
Para ter tangente horizontal precisamos de
. Uma fração é zero quando o numerador é zero e o denominador é diferente de zero. Assim exigimos
Da equação do numerador obtemos as soluções
Precisamos agora checar quais desses
correspondem a pontos da curva e se
nesses pontos.
Da equação da curva temos
-
Para
: . Aqui torna o denominador zero, portanto a fórmula acima não garante . Além disso, em as derivadas parciais dão um ponto singular (não é um ponto regular onde a função implícita define em função de ), então não podemos concluir que há tangente horizontal ali — é um caso especial que não está entre as alternativas. -
Para
: calculemos .
Substituindoem ,
Logo
. Nestes pontos
, então a condição do denominador está satisfeita.
Portanto os pontos da curva com
são
Neles o numerador
é zero e
, então
— tangente horizontal.
Passo 5
Agora confrontamos com as alternativas:
- A alternativa (b) é
, que aparece na lista de pontos com tangente horizontal: portanto é correta. - As alternativas (a) e (c) têm
. Para o numerador do quociente da derivada é
logo
em
, portanto (a) e (c) não correspondem a tangente horizontal.
- (d) é falsa porque já encontramos pontos com tangente horizontal (por exemplo a alternativa (b)).
Resposta
(b)