A Lissajous é o conjunto de pontos (x, y) que satisfazem a equação 4 x^{4}+y^{2}=4 x^{2}. Assinale um ponto em que a reta tangente à Lissajous é horizontal:
(a) \left(\frac{1}{3},-\frac{4 \sqrt{2}}{9}\right)
(b) \left(\frac{-\sqrt{2}}{2}, 1\right)
(c) \left(\frac{1}{3}, \frac{4 \sqrt{2}}{9}\right)
(d) não existe tal ponto

Passo 1

O enunciado dá a curva (a Lissajous)
4x^{4}+y^{2}=4x^{2}
e pede que assinalemos um ponto em que a reta tangente à curva é horizontal. As alternativas são:
(a) \left(\frac{1}{3},-\frac{4\sqrt{2}}{9}\right)
(b) \left(\frac{-\sqrt{2}}{2},1\right)
(c) \left(\frac{1}{3},\frac{4\sqrt{2}}{9}\right)
(d) não existe tal ponto

Passo 2

O que significa “reta tangente horizontal”? Significa que a inclinação (o coeficiente angular) da tangente é zero, isto é, \frac{dy}{dx}=0. Como a curva é dada por uma equação envolvendo x e y, vamos obter \frac{dy}{dx} por diferenciação implícita: tratamos y como função de x (mesmo que não a conheçamos explicitamente) e diferenciamos ambos os lados em relação a x.
Para diferenciar, uso regras básicas:
  • \frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1},
  • regra da cadeia: \frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\frac{dy}{dx} (porque y depende de x).
Aplicando à equação \;4x^{4}+y^{2}=4x^{2}\;:
derivando termo a termo em relação a x,
\frac{d}{dx}(4x^{4}) + \frac{d}{dx}(y^{2}) = \frac{d}{dx}(4x^{2}).
Isto dá
16x^{3} + 2y\frac{dy}{dx} = 8x.

Passo 3

Agora isolamos \frac{dy}{dx}. Subtraindo 16x^{3} e dividindo por 2y:
2y\frac{dy}{dx}=8x-16x^{3}
\frac{dy}{dx}=\frac{8x-16x^{3}}{2y}.
Fatorando:
\frac{dy}{dx}=\frac{4x(1-2x^{2})}{y}.

Passo 4

Para ter tangente horizontal precisamos de \frac{dy}{dx}=0. Uma fração é zero quando o numerador é zero e o denominador é diferente de zero. Assim exigimos
4x(1-2x^{2})=0 \quad\text{e}\quad y\neq 0.
Da equação do numerador obtemos as soluções
x=0 \quad\text{ou}\quad 1-2x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}.
Precisamos agora checar quais desses x correspondem a pontos da curva e se y\neq 0 nesses pontos.
Da equação da curva temos
y^{2}=4x^{2}-4x^{4}=4x^{2}(1-x^{2}).
  • Para x=0: y^{2}=0\Rightarrow y=0. Aqui y=0 torna o denominador zero, portanto a fórmula acima não garante \frac{dy}{dx}=0. Além disso, em (0,0) as derivadas parciais dão um ponto singular (não é um ponto regular onde a função implícita define y em função de x), então não podemos concluir que há tangente horizontal ali — é um caso especial que não está entre as alternativas.
  • Para x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}: calculemos y^{2}.
    Substituindo x^{2}=\frac{1}{2} em y^{2}=4x^{2}(1-x^{2}),
y^{2}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)=2\cdot\frac{1}{2}=1.
Logo y=\pm 1. Nestes pontos y\neq 0, então a condição do denominador está satisfeita.
Portanto os pontos da curva com \frac{dy}{dx}=0 são
\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right),\\ \left(\frac{\sqrt{2}}{2},-1\right),\\ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},1\right),\\ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-1\right).
Neles o numerador 4x(1-2x^{2}) é zero e y=\pm1\neq0, então \frac{dy}{dx}=0 — tangente horizontal.

Passo 5

Agora confrontamos com as alternativas:
  • A alternativa (b) é \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},1\right), que aparece na lista de pontos com tangente horizontal: portanto é correta.
  • As alternativas (a) e (c) têm x=\frac{1}{3}. Para x=\frac{1}{3} o numerador do quociente da derivada é
4x(1-2x^{2})=4\cdot\frac{1}{3}\Big(1-2\cdot\frac{1}{9}\Big)=\frac{4}{3}\Big(1-\frac{2}{9}\Big)=\frac{4}{3}\cdot\frac{7}{9}=\frac{28}{27}\neq 0,
logo \frac{dy}{dx}\neq 0 em x=\frac{1}{3}, portanto (a) e (c) não correspondem a tangente horizontal.
  • (d) é falsa porque já encontramos pontos com tangente horizontal (por exemplo a alternativa (b)).

Resposta

(b) \left(\frac{-\sqrt{2}}{2},1\right)

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