Calcule as derivadas abaixo:
g(s)=\operatorname{sec} ^{2}\left(s^{2}-\ln s\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(s)=\operatorname{sec}^{2}\!\left(s^{2}-\ln s\right).
Informações relevantes dadas:
  • A variável independente é s.
  • Há um \ln s na expressão, logo a função só está definida para s>0.
  • Além disso, \operatorname{sec} só existe quando \cos é diferente de zero; portanto pontos em que \cos\!\big(s^{2}-\ln s\big)=0 também são excluídos do domínio da função e da sua derivada.

Passo 2

Regras que vamos usar (com explicação curta e clara):
  • Regra da cadeia: se uma função é composição F(s)=f(u(s)), então
F'(s)=f'(u(s))\cdot u'(s).
Isto significa: derivar a função externa mantendo a interna e multiplicar pela derivada da função interna.
  • Derivada de \operatorname{sec} x: para qualquer x,
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\cdot\tan x.
  • Derivada de uma potência: se v(s)=[w(s)]^{2} então
\frac{d}{ds}v(s)=2\,w(s)\cdot w'(s).
Podemos combinar essa regra com a da derivada de \operatorname{sec} para derivar \operatorname{sec}^{2}(u).

Passo 3

Identificar a parte interna (substituição conveniente):
u(s)=s^{2}-\ln s.
Calcular a derivada de u(s):
  • Derivada de s^{2} é 2s.
  • Derivada de \ln s é \dfrac{1}{s} (válido para s>0).
    Portanto
u'(s)=2s-\frac{1}{s}.

Passo 4

Derivar a parte externa h(u)=\operatorname{sec}^{2}u em relação a u:
Trate h(u)=(\operatorname{sec} u)^{2}. Usando a regra da potência e a derivada de \operatorname{sec} u,
h'(u)=2\operatorname{sec} u\cdot\frac{d}{du}\operatorname{sec} u =2\operatorname{sec} u\cdot(\operatorname{sec} u\cdot\tan u) =2\operatorname{sec}^{2}u\cdot\tan u.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia: a derivada de g(s)=h(u(s)) é
g'(s)=h'(u(s))\cdot u'(s).
Substituindo h'(u) e u'(s) calculados:
g'(s)=2\operatorname{sec}^{2}\!\big(u(s)\big)\tan\!\big(u(s)\big)\cdot\left(2s-\frac{1}{s}\right).
Voltando u(s)=s^{2}-\ln s e, se desejar, multiplicando o 2 interno:
g'(s)=\left(4s-\frac{2}{s}\right)\operatorname{sec}^{2}\!\big(s^{2}-\ln s\big)\tan\!\big(s^{2}-\ln s\big).

Resposta

g'(s)=\left(4s-\frac{2}{s}\right)\operatorname{sec}^{2}\!\big(s^{2}-\ln s\big)\tan\!\big(s^{2}-\ln s\big)

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