Calcule as derivadas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A variável independente é
. - Há um
na expressão, logo a função só está definida para . - Além disso,
só existe quando é diferente de zero; portanto pontos em que também são excluídos do domínio da função e da sua derivada.
Passo 2
Regras que vamos usar (com explicação curta e clara):
- Regra da cadeia: se uma função é composição
, então
Isto significa: derivar a função externa mantendo a interna e multiplicar pela derivada da função interna.
- Derivada de
: para qualquer ,
- Derivada de uma potência: se
então
Podemos combinar essa regra com a da derivada de
para derivar
.
Passo 3
Identificar a parte interna (substituição conveniente):
Calcular a derivada de
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é (válido para ).
Portanto
Passo 4
Derivar a parte externa
em relação a
:
Trate . Usando a regra da potência e a derivada de
,
Trate
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia: a derivada de
é
Substituindo
e
calculados:
Voltando
e, se desejar, multiplicando o 2 interno: