Calcule as derivadas abaixo:
f(x)=-\ln (\cos x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -\ln\!\big(\cos x\big)
e pede para calcular as derivadas (interpreto que deseja, no mínimo, a derivada primeira; também vou calcular a segunda para completar). Informações relevantes fornecidas:
  • A função é composta: um logaritmo natural aplicado à função \cos x e multiplicado por -1.
  • É importante lembrar que o logaritmo natural exige argumento positivo; aqui precisa de \cos x>0 ou, ao menos, evitar pontos onde \cos x=0 para a derivação.

Passo 2

Relembrando a regra que vamos usar (explicação didática e simples).
  • Regra da cadeia: se h(x)=g(u(x)), então
h'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Isto significa: derivar a função externa g avaliando-a na interna u(x) e multiplicar pela derivada da interna.
  • Derivada do logaritmo natural: se g(u)=\ln u então
g'(u)=\frac{1}{u}.
  • Derivadas das funções trigonométricas básicas:
\frac{d}{dx}\big(\cos x\big) = -\sin x,\qquad \frac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x.

Passo 3

Aplicando as regras ao nosso caso. Definimos a função interna
u(x)=\cos x,
então a função dada é
f(x) = -\ln\big(u(x)\big).
Usamos a regra da cadeia e a derivada de \ln:
\frac{d}{dx}\ln\big(u(x)\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Como há o sinal negativo multiplicando, temos
f'(x) = -\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 4

Agora calculamos u'(x). Como u(x)=\cos x, então
u'(x) = -\sin x.
Substituindo em f'(x):
f'(x) = -\frac{-\sin x}{\cos x}.
Simplificando o sinal:
f'(x) = \frac{\sin x}{\cos x}.
Reconhecendo a razão seno/ cosseno:
f'(x)=\tan x,
válido nos pontos onde \cos x\neq 0.

Passo 5

Explicando de outra maneira curta (útil na prova): derivada de -\ln(\cos x) pode ser lembrada como -\big(1/\cos x\big)\cdot(\cos x)'. Como (\cos x)'=-\sin x, isso dá -\big(1/\cos x\big)\cdot(-\sin x)=\sin x/\cos x=\tan x.

Passo 6

Agora calculamos a segunda derivada f''(x). Como já temos f'(x)=\tan x, usamos a derivada de \tan x. Duas formas de obter essa derivada:
  • lembrar que (\tan x)'=\operatorname{sec}^2 x onde \operatorname{sec} x = 1/\cos x, ou
  • derivar \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} usando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}.
Portanto
f''(x)=\operatorname{sec}^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},
novamente para \cos x\neq 0.

Passo 7

Observações finais e domínio: ambas as derivadas só fazem sentido onde \cos x\neq 0 (pois o logaritmo exige argumento positivo e as expressões usam divisão por \cos x). Em pontos onde \cos x<0 a função \ln(\cos x) não é real; se o enunciado estiver em contexto de funções reais, a função original só existe onde \cos x>0. As derivadas que obtivemos são válidas nesses pontos.

Resposta

f'(x)=\tan x
f''(x)=\operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}

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