Calcule as derivadas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas (interpreto que deseja, no mínimo, a derivada primeira; também vou calcular a segunda para completar). Informações relevantes fornecidas:
- A função é composta: um logaritmo natural aplicado à função
e multiplicado por . - É importante lembrar que o logaritmo natural exige argumento positivo; aqui precisa de
ou, ao menos, evitar pontos onde para a derivação.
Passo 2
Relembrando a regra que vamos usar (explicação didática e simples).
- Regra da cadeia: se
, então
Isto significa: derivar a função externa
avaliando-a na interna
e multiplicar pela derivada da interna.
- Derivada do logaritmo natural: se
então
- Derivadas das funções trigonométricas básicas:
Passo 3
Aplicando as regras ao nosso caso. Definimos a função interna
então a função dada é
Usamos a regra da cadeia e a derivada de
:
Como há o sinal negativo multiplicando, temos
Passo 4
Agora calculamos
. Como
, então
Substituindo em
:
Simplificando o sinal:
Reconhecendo a razão seno/ cosseno:
válido nos pontos onde
.
Passo 5
Explicando de outra maneira curta (útil na prova): derivada de
pode ser lembrada como
. Como
, isso dá
.
Passo 6
Agora calculamos a segunda derivada
. Como já temos
, usamos a derivada de
. Duas formas de obter essa derivada:
- lembrar que
onde , ou - derivar
usando a regra do quociente:
Portanto
novamente para
.
Passo 7
Observações finais e domínio: ambas as derivadas só fazem sentido onde
(pois o logaritmo exige argumento positivo e as expressões usam divisão por
). Em pontos onde
a função
não é real; se o enunciado estiver em contexto de funções reais, a função original só existe onde
. As derivadas que obtivemos são válidas nesses pontos.