Calcule as derivadas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que se pede: calcular a derivada
.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de . Observação útil (pegue essa informação): a função
só está definida para
, ou seja para
; a derivada pode exigir
para evitar divisão por zero (ver passos adiante).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
Passo 2
Regra do produto (explicação didática). Quando uma função é produto de duas funções
e
, ou seja
a derivada é dada por
Aqui cada símbolo significa:
-
e são duas funções de ; -
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a .
No nosso caso podemos identificare .
Passo 3
Derivada de
e regra da cadeia (explicação didática). A derivada da função inversa seno é, para uma função
tal que
,
Aqui
é a derivada da função interna
e o denominador surge da diferenciação da inversa do seno (é a razão pela qual precisamos de
para a fórmula ficar bem definida). Esta é a aplicação da regra da cadeia: derivar a função externa
em
e multiplicar pela derivada da função interna
.
No nosso problema a parte interna é
. Então
Passo 4
Aplicando a regra do produto com os componentes identificados. Tomando
e
, tem-se
e, usando o resultado do passo anterior,
Agora aplicar a fórmula do produto:
Passo 5
Simplificação e observações finais. A expressão pode ser escrita de forma mais compacta:
Domínio da derivada: esta fórmula é válida quando o denominador é diferente de zero, ou seja quando
, isto é quando
. Em
a derivada explode (denominador nulo).