Calcule as derivadas abaixo:
h(x)=x \operatorname{arcsen}(15 x)

Passo 1

O enunciado dá a função h definida por
h(x)=x\operatorname{arcsen}(15x).
O que se pede: calcular a derivada h'(x).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de h(x). Observação útil (pegue essa informação): a função \operatorname{arcsen}(15x) só está definida para |15x|\le 1, ou seja para |x|\le \tfrac{1}{15}; a derivada pode exigir |15x|<1 para evitar divisão por zero (ver passos adiante).

Passo 2

Regra do produto (explicação didática). Quando uma função é produto de duas funções u(x) e v(x), ou seja
f(x)=u(x)\,v(x),
a derivada é dada por
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui cada símbolo significa:
  • u(x) e v(x) são duas funções de x;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x;
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
    No nosso caso podemos identificar u(x)=x e v(x)=\operatorname{arcsen}(15x).

Passo 3

Derivada de \operatorname{arcsen} e regra da cadeia (explicação didática). A derivada da função inversa seno é, para uma função w(x) tal que |w(x)|<1,
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arcsen}(w(x))\big)=\frac{w'(x)}{\sqrt{1-w(x)^2}}.
Aqui w'(x) é a derivada da função interna w(x) e o denominador surge da diferenciação da inversa do seno (é a razão pela qual precisamos de 1-w(x)^2>0 para a fórmula ficar bem definida). Esta é a aplicação da regra da cadeia: derivar a função externa \operatorname{arcsen} em w(x) e multiplicar pela derivada da função interna w(x).
No nosso problema a parte interna é w(x)=15x. Então
w'(x)=\frac{d}{dx}(15x)=15.

Passo 4

Aplicando a regra do produto com os componentes identificados. Tomando u(x)=x e v(x)=\operatorname{arcsen}(15x), tem-se u'(x)=1 e, usando o resultado do passo anterior,
v'(x)=\frac{15}{\sqrt{1-(15x)^2}}.
Agora aplicar a fórmula do produto:
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=1\cdot\operatorname{arcsen}(15x)+x\cdot\frac{15}{\sqrt{1-(15x)^2}}.

Passo 5

Simplificação e observações finais. A expressão pode ser escrita de forma mais compacta:
h'(x)=\operatorname{arcsen}(15x)+\frac{15x}{\sqrt{1-225x^2}}.
Domínio da derivada: esta fórmula é válida quando o denominador é diferente de zero, ou seja quando 1-(15x)^2>0, isto é quando |x|<\tfrac{1}{15}. Em x=\pm\tfrac{1}{15} a derivada explode (denominador nulo).

Resposta

\operatorname{arcsen}(15x)+\dfrac{15x}{\sqrt{1-225x^2}}

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