Calcule as derivadas abaixo utilizando a regra da cadeia.
y=\left(\frac{x^{2}}{8}+x-\frac{1}{x}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado dá
y=\Bigl(\frac{x^{2}}{8}+x-\frac{1}{x}\Bigr)^{4}
e pede y'=\tfrac{dy}{dx} usando a regra da cadeia. O conteúdo é derivada de função composta; vamos precisar identificar a função externa e a interna.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\frac{x^{2}}{8}+x-\frac{1}{x}
e a função externa
y(u)=u^{4}.

Passo 3

Derivamos a parte externa em relação a u:
\frac{dy}{du}=4\,u^{3}.

Passo 4

Derivamos a parte interna em relação a x, termo a termo:
a derivada de \tfrac{x^{2}}{8} é \tfrac{x}{4},
a derivada de x é 1,
a derivada de -\tfrac{1}{x}=-x^{-1} é +x^{-2}.
Logo,
\frac{du}{dx}=\frac{x}{4}+1+\frac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} =4\,u^{3}\;\Bigl(\frac{x}{4}+1+\frac{1}{x^{2}}\Bigr).
Substituindo u=\tfrac{x^{2}}{8}+x-\tfrac{1}{x}, obtemos
\frac{dy}{dx} =4\Bigl(\frac{x^{2}}{8}+x-\frac{1}{x}\Bigr)^{3} \Bigl(\frac{x}{4}+1+\frac{1}{x^{2}}\Bigr).

Resposta

y'=4\Bigl(\frac{x^{2}}{8}+x-\frac{1}{x}\Bigr)^{3}\Bigl(\frac{x}{4}+1+\frac{1}{x^{2}}\Bigr).

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