Calcule as derivadas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes: a função é uma constante multiplicando uma função composta
. O objetivo é aplicar regras de derivação para obter
.
Informações relevantes: a função é uma constante
Passo 2
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do fator constante: se
é constante e função, então . Aqui . - Derivada da exponencial composta: se
, então
Isto é um caso da regra da cadeia: a derivada de uma composição
é
. Exemplo curto para intuir: a derivada de
é
— primeiro deriva-se
avaliando em
, depois multiplica-se pela derivada de
, que é
.
Passo 3
Identificamos a função interna
. Precisamos de
. A fórmula básica para a derivada da função arco-tangente é
onde
é a função interna. Aqui
, então
. Portanto
Podemos simplificar o quadrado:
, então
Passo 4
Agora derivamos
usando a regra da cadeia do Passo 2:
Substituindo
do Passo 3 temos
Passo 5
Aplicando a regra do fator constante ao produto com
:
Observe a expressão acima: há um fator
no numerador que pode ser simplificado com o
multiplicando. Fazendo essa simplificação (cancela-se o
) obtém-se a forma final da derivada, que está na seção de resposta abaixo.
Passo 6
Cheque rápido de sanidade: substituindo
na resposta simplificada deve-se obter
o que faz sentido porque
está normalizada por
e o cancelamento do
ocorre no cálculo da derivada.