Calcule as derivadas abaixo:
\varphi(x)=\frac{e^{\operatorname{arctg}(15 x)}}{15}

Passo 1

O enunciado dá a função
\varphi(x)=\frac{e^{\operatorname{arctg}(15 x)}}{15}
e pede para calcular a derivada \varphi'(x).
Informações relevantes: a função é uma constante \tfrac{1}{15} multiplicando uma função composta e^{\operatorname{arctg}(15x)}. O objetivo é aplicar regras de derivação para obter \varphi'(x).

Passo 2

Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do fator constante: se c é constante e f(x) função, então (c\cdot f(x))' = c\cdot f'(x). Aqui c=\tfrac{1}{15}.
  • Derivada da exponencial composta: se F(x)=e^{u(x)}, então
F'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Isto é um caso da regra da cadeia: a derivada de uma composição f(g(x)) é f'(g(x))\cdot g'(x). Exemplo curto para intuir: a derivada de \sin(3x) é \cos(3x)\cdot 3 — primeiro deriva-se \sin avaliando em 3x, depois multiplica-se pela derivada de 3x, que é 3.

Passo 3

Identificamos a função interna u(x)=\operatorname{arctg}(15x). Precisamos de u'(x). A fórmula básica para a derivada da função arco-tangente é
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arctg}(v(x))\big)=\frac{v'(x)}{1+\big(v(x)\big)^2},
onde v(x) é a função interna. Aqui v(x)=15x, então v'(x)=15. Portanto
u'(x)=\frac{15}{1+(15x)^2}.
Podemos simplificar o quadrado: (15x)^2=225x^2, então
u'(x)=\frac{15}{1+225x^2}.

Passo 4

Agora derivamos e^{u(x)} usando a regra da cadeia do Passo 2:
\frac{d}{dx}\big(e^{\operatorname{arctg}(15x)}\big)=e^{\operatorname{arctg}(15x)}\cdot u'(x).
Substituindo u'(x) do Passo 3 temos
\frac{d}{dx}\big(e^{\operatorname{arctg}(15x)}\big) = e^{\operatorname{arctg}(15x)}\cdot\frac{15}{1+225x^2}.

Passo 5

Aplicando a regra do fator constante ao produto com \tfrac{1}{15}:
\varphi'(x)=\frac{1}{15}\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{\operatorname{arctg}(15x)}\big) = \frac{1}{15}\cdot e^{\operatorname{arctg}(15x)}\cdot\frac{15}{1+225x^2}.
Observe a expressão acima: há um fator 15 no numerador que pode ser simplificado com o \tfrac{1}{15} multiplicando. Fazendo essa simplificação (cancela-se o 15) obtém-se a forma final da derivada, que está na seção de resposta abaixo.

Passo 6

Cheque rápido de sanidade: substituindo x=0 na resposta simplificada deve-se obter
\varphi'(0)=\frac{e^{\operatorname{arctg}(0)}}{1+225\cdot 0^2}=\frac{e^{0}}{1}=1,
o que faz sentido porque \varphi(x) está normalizada por 1/15 e o cancelamento do 15 ocorre no cálculo da derivada.

Resposta

\varphi'(x)=\dfrac{e^{\operatorname{arctg}(15x)}}{1+225x^{2}}

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