Calcule as derivadas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e observações iniciais úteis:
- A função está escrita com uma raiz quadrada cuja parte interna é
. - O objetivo é encontrar
, a derivada em relação a . - Note que
porque o denominador
Passo 2
Reescrever a função numa forma que facilita derivar: elevar a expressão ao expoente
. Assim definimos uma função externa e uma interna para usar a regra da cadeia.
Regra da cadeia (lembrete didático): se
e
, então
Aqui escolha natural:
Derivada de
: para
vale
Então, pela regra da cadeia,
Passo 3
Agora precisamos calcular
, ou seja a derivada de
Usamos a regra do quociente (quociente de duas funções): se
então
Aqui defina
e
. Então
Aplicando a fórmula:
Fazendo as contas no numerador, passo a passo:
Portanto
Passo 4
Substituir
e
na fórmula da regra da cadeia:
Esta é uma forma correta da derivada, já obtida diretamente a partir das regras. Agora vamos simplificar para uma expressão mais clara e prática de usar na prova.
Passo 5
Simplificação da expressão para uma forma com radicais mais evidente e com potência única no denominador.
Primeiro observe que
Substituindo na expressão de
:
Agrupando fatores que envolvem
:
no denominador multiplicado por
na fração equivale a
no denominador. Assim obtemos a forma simplificada
Comentário sobre domínio e diferenciabilidade (rápido e prático para a prova):
- A expressão final exige
e para que seja estritamente positiva (lembrando que no ponto em que a parte interna da raiz é zero a derivada típica de uma raiz é infinita/indefinida). Portanto, a derivada obtida é válida para tais que e ; na prática, para diferenciar diretamente pela cadeia como fizemos, é seguro considerar os intervalos onde a expressão dentro da raiz é positiva.