Calcule as derivadas abaixo:
y=\sqrt{\frac{x^{2}-15}{x+15}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\sqrt{\frac{x^{2}-15}{x+15}}.
Informações dadas e observações iniciais úteis:
  • A função está escrita com uma raiz quadrada cuja parte interna é \dfrac{x^{2}-15}{x+15}.
  • O objetivo é encontrar y'(x), a derivada em relação a x.
  • Note que x\neq -15 porque o denominador \,x+15\,$ não pode ser zero; além disso, a expressão dentro da raiz deve ser não negativa para que a função real esteja definida. (Detalhes sobre domínio e diferenciabilidade serão comentados depois.)ãéããçãíã

Passo 2

Reescrever a função numa forma que facilita derivar: elevar a expressão ao expoente \tfrac{1}{2}. Assim definimos uma função externa e uma interna para usar a regra da cadeia.
y=\left(\frac{x^{2}-15}{x+15}\right)^{1/2}.
Regra da cadeia (lembrete didático): se y=f(u) e u=g(x), então
y' = f'(u)\cdot g'(x).
Aqui escolha natural:
f(u)=u^{1/2},\qquad u(x)=\frac{x^{2}-15}{x+15}.
Derivada de f: para f(u)=u^{1/2} vale
f'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}.
Então, pela regra da cadeia,
y'=\frac{1}{2}\,u^{-1/2}\cdot u'(x).

Passo 3

Agora precisamos calcular u'(x), ou seja a derivada de
u(x)=\frac{x^{2}-15}{x+15}.
Usamos a regra do quociente (quociente de duas funções): se u=\dfrac{v}{w} então
u'=\frac{v'w - v w'}{w^{2}}.
Aqui defina v(x)=x^{2}-15 e w(x)=x+15. Então
v'(x)=2x,\qquad w'(x)=1.
Aplicando a fórmula:
u'(x)=\frac{(2x)(x+15)-(x^{2}-15)(1)}{(x+15)^{2}}.
Fazendo as contas no numerador, passo a passo:
(2x)(x+15)=2x^{2}+30x,
2x^{2}+30x-(x^{2}-15)=2x^{2}+30x-x^{2}+15=x^{2}+30x+15.
Portanto
u'(x)=\frac{x^{2}+30x+15}{(x+15)^{2}}.

Passo 4

Substituir u^{-1/2} e u'(x) na fórmula da regra da cadeia:
y'=\frac{1}{2}\left(\frac{x^{2}-15}{x+15}\right)^{-1/2}\cdot\frac{x^{2}+30x+15}{(x+15)^{2}}.
Esta é uma forma correta da derivada, já obtida diretamente a partir das regras. Agora vamos simplificar para uma expressão mais clara e prática de usar na prova.

Passo 5

Simplificação da expressão para uma forma com radicais mais evidente e com potência única no denominador.
Primeiro observe que
\left(\frac{x^{2}-15}{x+15}\right)^{-1/2}=\sqrt{\frac{x+15}{x^{2}-15}}.
Substituindo na expressão de y':
y'=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}+30x+15}{(x+15)^{2}}\cdot\sqrt{\frac{x+15}{x^{2}-15}}.
Agrupando fatores que envolvem x+15: (x+15)^{2} no denominador multiplicado por \sqrt{x+15} na fração equivale a (x+15)^{3/2} no denominador. Assim obtemos a forma simplificada
y'=\frac{x^{2}+30x+15}{2\,(x+15)^{3/2}\,\sqrt{x^{2}-15}}.
Comentário sobre domínio e diferenciabilidade (rápido e prático para a prova):
  • A expressão final exige \,x\neq -15 e \,x^{2}-15>0 para que \sqrt{x^{2}-15} seja estritamente positiva (lembrando que no ponto em que a parte interna da raiz é zero a derivada típica de uma raiz \tfrac12 é infinita/indefinida). Portanto, a derivada obtida é válida para x tais que \dfrac{x^{2}-15}{x+15}>0 e x\neq -15; na prática, para diferenciar diretamente pela cadeia como fizemos, é seguro considerar os intervalos onde a expressão dentro da raiz é positiva.

Resposta

y'=\frac{x^{2}+30x+15}{2\,(x+15)^{3/2}\,\sqrt{x^{2}-15}}.

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