Calcule as derivadas abaixo:
w=3 z^{-3}-\frac{1}{z}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a(s) derivada(s) da função dada. As informações fornecidas são:
w = 3\,z^{-3} - \frac{1}{z}.
Queremos encontrar a derivada de w em relação a z (ou seja, \dfrac{dw}{dz}).

Passo 2

Primeiro reescrevo a função escrevendo tudo como potências de z, porque isso facilita usar a regra do poder (power rule). Observamos que \dfrac{1}{z} é igual a z^{-1}. Assim:
w = 3\,z^{-3} - z^{-1}.

Passo 3

Vamos lembrar a regra básica que vamos usar (explicação didática):
A regra do poder diz que, para qualquer numero real n,
\frac{d}{dz}\bigl(z^{n}\bigr)=n\,z^{n-1}.
Isto significa: pego o expoente n, multiplico pela função z^{n} e reduzo o expoente em uma unidade. Exemplo rápido para fixar: se f(z)=z^{3}, então f'(z)=3z^{2}. Se g(z)=z^{-2}, então g'(z)=-2z^{-3}.
Também, se há um coeficiente constante multiplicando a potência, ele sai como fator: \dfrac{d}{dz}\bigl(c\cdot z^{n}\bigr)=c\cdot n\,z^{n-1}.

Passo 4

Agora aplico a regra termo a termo em w=3\,z^{-3}-z^{-1}.
Para o primeiro termo 3\,z^{-3}:
\frac{d}{dz}\bigl(3\,z^{-3}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dz}\bigl(z^{-3}\bigr)=3\cdot(-3)\,z^{-4}=-9\,z^{-4}.
Expliquei: peguei o expoente -3, multipliquei por 3 (o coeficiente) e reduzi o expoente em 1, ficando -4.

Passo 5

Para o segundo termo -z^{-1}:
\frac{d}{dz}\bigl(-z^{-1}\bigr)=-\frac{d}{dz}\bigl(z^{-1}\bigr)=-1\cdot(-1)\,z^{-2}=+1\cdot z^{-2}=z^{-2}.
Expliquei: a derivada de z^{-1} é -1\,z^{-2}; como havia um sinal negativo antes, o resultado fica positivo z^{-2}.

Passo 6

Somando as derivadas dos termos obtemos:
\frac{dw}{dz}=-9\,z^{-4}+z^{-2}.
Posso simplificar colocando em um único quociente. Fatorando z^{-4}:
-9\,z^{-4}+z^{-2}=z^{-4}(-9+z^{2})=\frac{z^{2}-9}{z^{4}}.

Resposta

\dfrac{z^{2}-9}{z^{4}}

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