Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
f(x)=\left(x^{3}+1\right)^{1 / 4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left(x^{3}+1\right)^{1/4}.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
\;f(x) está escrita como uma potência de uma expressão em x.
A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Antes de derivar, vamos lembrar a regra da cadeia de forma simples e explicar cada peça. A regra da cadeia serve quando temos uma função composta: uma função aplicada sobre outra. Se tivermos
f(x)=h(g(x)),
onde g é a função interna e h é a função externa, a regra da cadeia diz que
f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).
Explicando as letras:
  • g(x) é a parte interna (por exemplo, x^{3}+1).
  • h(u) é a parte externa escrita em função de uma variável intermediária u (por exemplo, u^{1/4}).
  • h'(u) é a derivada de h em relação a u.
  • g'(x) é a derivada de g em relação a x.
    Na prática: derivamos a função externa (mantendo a interna como está), e multiplicamos pela derivada da parte interna.

Passo 3

Identificamos as funções interna e externa no nosso caso:
g(x)=x^{3}+1
(esta é a função interna) e
h(u)=u^{1/4}
(escrita em termos de u, esta é a função externa). Assim podemos escrever
f(x)=h(g(x)).

Passo 4

Derivamos cada uma separadamente usando a regra do poder (power rule). A regra do poder diz que, para uma função u^n com n constante,
\frac{d}{du}\bigl(u^n\bigr)=n\,u^{\,n-1}.
Aplicando isso:
  • Derivada de g(x)=x^{3}+1:
g'(x)=3x^{2}
porque a derivada de x^{3} é 3x^{2} e a de constante 1 é 0.
  • Derivada de h(u)=u^{1/4}:
h'(u)=\frac{1}{4}\,u^{-3/4}
aplicando a regra do poder com n=1/4: (1/4)u^{1/4-1}=(1/4)u^{-3/4}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).
Substituindo h'(u) com u=g(x) e g'(x):
f'(x)=\frac{1}{4}\bigl(g(x)\bigr)^{-3/4}\cdot 3x^{2}.

Passo 6

Simplificamos a expressão produzindo uma forma mais limpa. Lembrando que g(x)=x^{3}+1, temos
f'(x)=\frac{1}{4}\,(x^{3}+1)^{-3/4}\cdot 3x^{2}.
Multiplicando os fatores numéricos:
f'(x)=\frac{3x^{2}}{4}\,(x^{3}+1)^{-3/4}.
É comum reescrever potências negativas como raiz no denominador. Fazendo isso obtemos a forma
f'(x)=\frac{3x^{2}}{4\,(x^{3}+1)^{3/4}}.
Ambas as formas são equivalentes; esta última costuma ser mais bonita para leitura.

Resposta

f'(x)=\frac{3x^{2}}{4\,(x^{3}+1)^{3/4}}

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