Calcule as derivadas usando a regra da cadeia:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações importantes dadas pelo enunciado:
está escrita como uma potência de uma expressão em
.
A tarefa é encontrar , a derivada de
em relação a
.
A tarefa é encontrar
Passo 2
Antes de derivar, vamos lembrar a regra da cadeia de forma simples e explicar cada peça. A regra da cadeia serve quando temos uma função composta: uma função aplicada sobre outra. Se tivermos
onde
é a função interna e
é a função externa, a regra da cadeia diz que
Explicando as letras:
-
é a parte interna (por exemplo, ). -
é a parte externa escrita em função de uma variável intermediária (por exemplo, ). -
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a .
Na prática: derivamos a função externa (mantendo a interna como está), e multiplicamos pela derivada da parte interna.
Passo 3
Identificamos as funções interna e externa no nosso caso:
(esta é a função interna) e
(escrita em termos de
, esta é a função externa). Assim podemos escrever
Passo 4
Derivamos cada uma separadamente usando a regra do poder (power rule). A regra do poder diz que, para uma função
com
constante,
Aplicando isso:
- Derivada de
:
porque a derivada de
é
e a de constante
é
.
- Derivada de
:
aplicando a regra do poder com
:
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo
com
e
:
Passo 6
Simplificamos a expressão produzindo uma forma mais limpa. Lembrando que
, temos
Multiplicando os fatores numéricos:
É comum reescrever potências negativas como raiz no denominador. Fazendo isso obtemos a forma
Ambas as formas são equivalentes; esta última costuma ser mais bonita para leitura.