Calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=3 x^{2}-5 x+2

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=3 x^{2}-5 x+2 e pede para calcular a derivada dessa função.
Informações fornecidas: a expressão de f(x) com três termos — um termo quadrático 3 x^{2}, um termo linear -5 x e uma constante 2.
Pergunta: encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos lembrar as regras que usaremos (explicadas com calma):
  • Regra da soma / diferença: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se h(x)=u(x)+v(x) então h'(x)=u'(x)+v'(x). O mesmo vale para diferença.
  • Regra do múltiplo constante: se uma função é multiplicada por uma constante, a constante sai na frente da derivada. Ou seja, se g(x)=c\cdot u(x) com c constante, então g'(x)=c\cdot u'(x).
  • Regra do poder (power rule): para a função u(x)=x^{n}, com n número real, temos u'(x)=n x^{n-1}. Isso significa que para cada potência você multiplica pelo expoente e diminui o expoente em 1.
Explicando a regra do poder com um exemplo rápido: se u(x)=x^{3} então u'(x)=3x^{2}. Se u(x)=x^{4} então u'(x)=4x^{3}. Tranquilo, né?

Passo 3

Agora aplicamos as regras termo a termo em f(x)=3 x^{2}-5 x+2, usando a regra da soma/diferença e a regra do múltiplo constante.
Primeiro termo: 3 x^{2}.
  • Trate como constante 3 vezes x^{2}. Pela regra do múltiplo constante, a derivada é 3 vezes a derivada de x^{2}.
  • Pela regra do poder, a derivada de x^{2} é 2 x^{1} (ou simplesmente 2x).
    Portanto a derivada do primeiro termo é 3\cdot(2x)=6x.

Passo 4

Segundo termo: -5 x.
  • Isso é uma constante -5 vezes x. A derivada de x é 1.
  • Assim a derivada do segundo termo é -5\cdot 1=-5.
Terceiro termo: 2 (constante).
  • A derivada de uma constante é 0.
    Portanto a derivada do terceiro termo é 0.

Passo 5

Somando as derivadas dos termos (regra da soma):
  • derivada total f'(x)=6x + (-5) + 0.
    Simplificando os sinais, obtemos
f'(x)=6x-5.

Resposta

f'(x)=6x-5

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