Calcule as derivadas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada de em relação a
, ou seja
.
Observação importante: a função está definida apenas para
, então o domínio considerado é
.
e pede para calcular a derivada de
Observação importante: a função
Passo 2
Vamos lembrar uma regra essencial que usaremos: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte:
Seja
. Então a derivada de
em relação a
é
Explicando com calma:
é a função interna;
é a função externa aplicada ao valor
. Para derivar composições, deriva-se a externa avaliando-a na interna e multiplica-se pela derivada da interna.
Passo 3
Identificar funções interna e externa na nossa expressão:
- Função externa (sem contar o fator constante):
. - Função interna:
. - Há também um fator constante multiplicando toda a composição:
. Pela regra do fator constante, se então .
Passo 4
Derivadas básicas que precisamos:
- A derivada de
em relação a é . Aqui é a função cosseno. - A derivada de
em relação a é (válido para ).
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia e a regra do fator constante passo a passo.
Começamos derivando
. Pela regra do fator constante:
Pela regra da cadeia:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 6
Simplificando o produto:
válido para
.
Para fixar a ideia: se o fator
não existisse, a derivada de
seria
. O
apenas multiplica o resultado.