Calcule as derivadas abaixo:
x(y)=15 \operatorname{sen}(\ln y)

Passo 1

O enunciado dá a função
x(y)=15\operatorname{sen}(\ln y)
e pede para calcular a derivada de x em relação a y, ou seja \dfrac{dx}{dy}.
Observação importante: a função \ln y está definida apenas para y>0, então o domínio considerado é y>0.

Passo 2

Vamos lembrar uma regra essencial que usaremos: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte:
Seja h(y)=f(g(y)). Então a derivada de h em relação a y é
h'(y)=f'\big(g(y)\big)\cdot g'(y).
Explicando com calma: g(y) é a função interna; f(u) é a função externa aplicada ao valor u=g(y). Para derivar composições, deriva-se a externa avaliando-a na interna e multiplica-se pela derivada da interna.

Passo 3

Identificar funções interna e externa na nossa expressão:
  • Função externa (sem contar o fator constante): f(u)=\operatorname{sen}(u).
  • Função interna: u(y)=\ln y.
  • Há também um fator constante multiplicando toda a composição: 15. Pela regra do fator constante, se x(y)=15\cdot g(y) então x'(y)=15\cdot g'(y).

Passo 4

Derivadas básicas que precisamos:
  • A derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a u é \dfrac{d}{du}\operatorname{sen}(u)=\cos(u). Aqui \cos é a função cosseno.
  • A derivada de \ln y em relação a y é \dfrac{d}{dy}\ln y=\dfrac{1}{y} (válido para y>0).

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia e a regra do fator constante passo a passo.
Começamos derivando x(y)=15\cdot \operatorname{sen}(u(y)). Pela regra do fator constante:
\frac{dx}{dy}=15\cdot\frac{d}{dy}\big(\operatorname{sen}(u(y))\big).
Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dy}\big(\operatorname{sen}(u(y))\big)=\cos\big(u(y)\big)\cdot u'(y).
Substituindo u(y)=\ln y e u'(y)=\dfrac{1}{y}, obtemos
\frac{dx}{dy}=15\cdot \cos\big(\ln y\big)\cdot \frac{1}{y}.

Passo 6

Simplificando o produto:
\frac{dx}{dy}=\frac{15\cos(\ln y)}{y},
válido para y>0.
Para fixar a ideia: se o fator 15 não existisse, a derivada de \operatorname{sen}(\ln y) seria \dfrac{\cos(\ln y)}{y}. O 15 apenas multiplica o resultado.

Resposta

\dfrac{15\cos(\ln y)}{y}

Exercícios relacionados