Calcule as derivadas de cada função, a seguir:
f(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-1

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a derivada da função
f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-1.
Informações dadas: a função é um polinômio com quatro termos \,x^{3},\,-2x^{2},\,x e -1. A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicadinhas, passo a passo):
Regra do expoente (power rule): para qualquer número inteiro positivo n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável independente e n é o expoente. A regra diz: “traga o expoente para frente como multiplicador e diminua o expoente em 1”.
Regra da constante por função (constante multiplicativa): se a é constante e g(x) é diferenciável, então
\frac{d}{dx}\big(a\cdot g(x)\big)=a\cdot g'(x).
Isto significa que podemos retirar constantes da derivada.
Derivada de constante: se c é constante (não depende de x), então
\frac{d}{dx}\text{(c)}=0.
Exemplo rápido para fixar: usando a regra do expoente,
\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\big(x\big)=1,\qquad \frac{d}{dx}(5)=0.

Passo 3

Derivando termo a termo (polinômios permitem isso pela linearidade da derivada): calculemos a derivada de cada termo de \,f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-1.
Primeiro termo: \,x^{3}. Pela regra do expoente com n=3,
\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.

Passo 4

Segundo termo: -2x^{2}. Aqui usamos a regra da constante multiplicativa com a=-2 e a regra do expoente para x^{2}:
\frac{d}{dx}\big(-2x^{2}\big)=-2\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=-2\cdot(2x)=-4x.

Passo 5

Terceiro termo: x. Aplicando a regra do expoente com n=1,
\frac{d}{dx}\big(x\big)=1\cdot x^{0}=1.
(Observação: x^{0}=1 para x\neq 0, e a regra do expoente para derivadas já nos dá o resultado 1.)

Passo 6

Quarto termo: -1. É uma constante, portanto
\frac{d}{dx}(-1)=0.

Passo 7

Agora somamos as derivadas de cada termo (lineariade da derivada):
f'(x)=3x^{2}+(-4x)+1+0.
Simplificando os sinais,
f'(x)=3x^{2}-4x+1.

Resposta

3x^{2}-4x+1

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