Calcule as derivadas de cada função, a seguir:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a derivada da função
Informações dadas: a função é um polinômio com quatro termos
e
. A tarefa é encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (explicadinhas, passo a passo):
Regra do expoente (power rule): para qualquer número inteiro positivo
,
Aqui
é a variável independente e
é o expoente. A regra diz: “traga o expoente para frente como multiplicador e diminua o expoente em 1”.
Regra da constante por função (constante multiplicativa): se
é constante e
é diferenciável, então
Isto significa que podemos retirar constantes da derivada.
Derivada de constante: se
é constante (não depende de
), então
Exemplo rápido para fixar: usando a regra do expoente,
Passo 3
Derivando termo a termo (polinômios permitem isso pela linearidade da derivada): calculemos a derivada de cada termo de
.
Primeiro termo:
. Pela regra do expoente com
,
Passo 4
Segundo termo:
. Aqui usamos a regra da constante multiplicativa com
e a regra do expoente para
:
Passo 5
Terceiro termo:
. Aplicando a regra do expoente com
,
(Observação:
para
, e a regra do expoente para derivadas já nos dá o resultado
.)
Passo 6
Quarto termo:
. É uma constante, portanto
Passo 7
Agora somamos as derivadas de cada termo (lineariade da derivada):
Simplificando os sinais,